Salaires d’une PME : effet d’une revalorisation sur les indicateurs

Durée estimée

15 minutes

Difficulté

Le responsable des ressources humaines d'une PME a calculé les indicateurs statistiques des salaires mensuels (en euros) de ses employés :

Il envisage une revalorisation : chaque salaire $x$ est remplacé par $y = 1{,}04\,x + 50$ (augmentation de $4\,\%$ puis prime fixe de $50$ €).

L'objectif est de déterminer les nouveaux indicateurs statistiques sans connaître les salaires individuels.

Déroulement pas à pas (Correction et Indices)

Étape 1 :

Connaissant uniquement la moyenne $\bar{x}$, comment obtenir la nouvelle moyenne $\bar{y}$ sans recalculer à partir de chaque salaire ?

(Incorrect) Il n'est pas possible d'obtenir $\bar{y}$ sans connaître tous les salaires individuels.
(Correct) Appliquer la formule $\bar{y} = 1{,}04\,\bar{x} + 50$.
(Incorrect) $\bar{y} = \bar{x} + 50$ uniquement : la constante suffit.

Étape 2 :

Calculer la nouvelle moyenne $\bar{y}$ (en euros).
[[moy]]

Étape 3 :

La médiane suit-elle la même règle : $\text{Med}' = 1{,}04 \times \text{Med} + 50$ ?

(Correct) Oui : une transformation affine croissante ($a > 0$) conserve l'ordre des salaires, donc le salarié médian reste le même. Son nouveau salaire est $1{,}04 \times \text{Med} + 50$.
(Incorrect) Non : seule la moyenne admet cette propriété. La médiane doit être recalculée à partir de tous les salaires.
(Incorrect) Non : la médiane est invariante, elle reste $2\,200$ €.

Étape 4 :

Calculer la nouvelle médiane $\text{Med}'$ (en euros).
[[med]]

Étape 5 :

Déterminer la nouvelle étendue de la série des salaires (en euros).
[[et]]

Étape 6 :

Déterminer le nouvel écart interquartile (en euros).
[[eiq]]