Utiliser un agrandissement ou une réduction
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Lorsqu'on multiplie toutes les longueurs d'un solide par un nombre $ k > 0 $, on obtient :
- un agrandissement si $ k > 1 $
- une réduction si $ k < 1 $
Les longueurs sont multipliées par $ k $, les aires par $ k^2 $ et les volumes par $ k^3 $.
Méthode
- Identifier le rapport $ k $ de l'agrandissement ou de la réduction.
- Déterminer ce qui est demandé : une longueur, une aire ou un volume.
Appliquer la puissance correspondante :
- longueur du nouveau solide $ = $ longueur initiale $ \times k $
- aire du nouveau solide $ = $ aire initiale $ \times k^2 $
- volume du nouveau solide $ = $ volume initial $ \times k^3 $
Réduction d'un cône
Un cône a une hauteur de $ 4{,}8 $ cm et un volume de $ 34 $ cm³. On effectue une réduction de rapport $ \dfrac{2}{3} $.
Calculer la hauteur et le volume du cône réduit.
Étape 1 : le rapport de réduction est $ k = \dfrac{2}{3} $.
Étape 2 : on cherche une longueur (hauteur) et un volume.
Étape 3 : la hauteur est une longueur, on la multiplie par $ k $ :
$ h' = 4{,}8 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{9{,}6}{3} = 3{,}2 $ cm
Le volume est multiplié par $ k^3 $ :
$ V' = 34 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = 34 \times \dfrac{8}{27} = \dfrac{272}{27} \approx 10{,}1 $ cm³
La hauteur du cône réduit est 3,2 cm et son volume est environ 10,1 cm³.
Trouver le rapport à partir des aires
La pyramide $ SA'B'C'D' $ est une réduction de la pyramide $ SABCD $. L'aire de la base $ ABCD $ est $ 72 $ cm² et l'aire de la base $ A'B'C'D' $ est $ 32 $ cm².
Déterminer le rapport de réduction, puis en déduire le rapport des volumes.
Étape 1 : on cherche $ k $ à partir du rapport des aires.
Les aires sont multipliées par $ k^2 $, donc :
$ k^2 = \dfrac{32}{72} = \dfrac{4}{9} $
On en déduit :
$ k = \sqrt{\dfrac{4}{9}} = \dfrac{2}{3} $
Le rapport de réduction est $ \dfrac{2}{3} $ (c'est bien une réduction car $ k < 1 $).
Étape 2 : les volumes sont multipliés par $ k^3 $ :
$ k^3 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27} $
Le volume de la pyramide réduite est donc $ \dfrac{8}{27} $ du volume de la pyramide initiale.
Attention
Multiplier les longueurs par $ 2 $ ne double pas le volume : le volume est multiplié par $ 2^3 = 8 $.
De même, diviser les longueurs par $ 3 $ ne divise pas l'aire par $ 3 $ mais par $ 3^2 = 9 $.
Ne pas appliquer le même coefficient aux longueurs, aires et volumes : c'est l'erreur la plus fréquente.