Démontrer la médiatrice d’un triangle isocèle

Comparons les côtés des triangles $ ABM $ et $ ACM $ :

1. Le triangle $ ABC $ est isocèle en $ A $, donc $ AB = AC $.
2. Le point $ M $ est le milieu de $ [BC] $, donc $ MB = MC $.
3. Le côté $ [AM] $ est commun aux deux triangles, donc $ AM = AM $.

Les trois côtés du triangle $ ABM $ sont deux à deux de même longueur que les trois côtés du triangle $ ACM $. D'après le premier cas d'égalité (CCC), les triangles $ ABM $ et $ ACM $ sont égaux.

Si deux triangles sont égaux, alors leurs angles correspondants ont la même mesure. En particulier :

Les points $ B $, $ M $ et $ C $ sont alignés (puisque $ M $ appartient au segment $ [BC] $). Les angles $ \widehat{AMB} $ et $ \widehat{AMC} $ sont donc supplémentaires :
$ \widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180° $.

D'après la question 2, ces deux angles sont égaux. On peut donc écrire :
$ 2 \times \widehat{AMB} = 180 $
$ \widehat{AMB} = 90° $.

Les deux angles $ \widehat{AMB} $ et $ \widehat{AMC} $ sont donc droits.

La droite $ (AM) $ est perpendiculaire à $ (BC) $ et passe par $ M $, milieu du segment $ [BC] $ : elle est donc, par définition, la médiatrice du segment $ [BC] $.

Cette droite est en même temps la hauteur issue de $ A $ et la médiatrice de la base : c'est l'axe de symétrie du triangle isocèle.