Médiatrices d’un triangle et cercle circonscrit

Durée estimée

15 minutes

Difficulté

Le triangle $ ABC $ vérifie $ AB = 6 $ cm, $ BC = 5 $ cm et $ AC = 4 $ cm.

Construire le triangle $ ABC $.
Tracer la médiatrice du segment $ [AB] $, puis celle du segment $ [AC] $. Elles se coupent en un point que l'on note $ O $.
Démontrer que $ OA = OB = OC $.
Sans la tracer au compas, justifier que la médiatrice du segment $ [BC] $ passe également par le point $ O $.
Construire le cercle passant par les trois sommets du triangle. Comment s'appelle ce cercle ?

Corrigé

On vérifie d'abord que le triangle est constructible : la plus grande longueur est $ 6 $ et $ 4 + 5 = 9 > 6 $. La construction se fait par la méthode CCC à partir de $ [AB] $ et de deux arcs de cercle (centres $ A $ et $ B $, rayons $ 4 $ et $ 5 $).
La médiatrice de $ [AB] $ est tracée au compas (deux arcs de même rayon centrés en $ A $ et $ B $) ; on procède de même pour $ [AC] $. Les deux droites obtenues se coupent en $ O $.
Le point $ O $ est sur la médiatrice de $ [AB] $, donc il est équidistant des extrémités de ce segment :
$ OA = OB $.

Le point $ O $ est aussi sur la médiatrice de $ [AC] $, donc :
$ OA = OC $.

On en déduit :

$ OA = OB = OC $.
D'après la question précédente, $ OB = OC $. Le point $ O $ est donc équidistant des extrémités du segment $ [BC] $ : il appartient à la médiatrice de $ [BC] $.

Conclusion : les trois médiatrices du triangle $ ABC $ sont concourantes en $ O $.
Comme $ OA = OB = OC $, le cercle de centre $ O $ et de rayon $ OA $ passe par les trois sommets $ A $, $ B $ et $ C $ : c'est le cercle circonscrit au triangle $ ABC $.

Pour réviser : Tracer médiatrices et hauteurs d'un triangle.