Utiliser les théorèmes de comparaison
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Créer un compteMéthode 1 : Théorème de comparaison (limite infinie)
Méthode
Pour montrer que $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=+\infty $ :
- on cherche une fonction $ g $ telle que $ f\left(x\right)\geqslant g\left(x\right) $ pour $ x $ assez grand
- on montre que $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)=+\infty $
- on conclut par le théorème de comparaison : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=+\infty $
Attention
Le théorème de comparaison ne s'applique que pour les limites infinies. Pour une limite finie, il faut utiliser le théorème des gendarmes (méthode 2).
Exemple
Montrer que $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(x^{2}+\sin x\right)=+\infty $.
Pour tout réel $ x $ : $ \sin x\geqslant -1 $, donc :
$ x^{2}+\sin x\geqslant x^{2}-1 $
Or $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(x^{2}-1\right)=+\infty $.
Par le théorème de comparaison : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(x^{2}+\sin x\right)=+\infty $.
Méthode 2 : Théorème des gendarmes (limite finie)
Méthode
Pour montrer que $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=l $ :
- on encadre $ f\left(x\right) $ entre deux fonctions $ g\left(x\right) $ et $ h\left(x\right) $ : $ g\left(x\right)\leqslant f\left(x\right)\leqslant h\left(x\right) $ pour $ x $ assez grand
- on montre que $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }h\left(x\right)=l $
- on conclut par le théorème des gendarmes : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=l $
Remarque
L'encadrement provient le plus souvent d'inégalités classiques : $ -1\leqslant \sin x\leqslant 1 $ ou $ -1\leqslant \cos x\leqslant 1 $.
Exemple
Calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\sin x}{x} $.
Pour tout $ x > 0 $ : $ -1\leqslant \sin x\leqslant 1 $.
En divisant par $ x > 0 $ :
$ -\dfrac{1}{x}\leqslant \dfrac{\sin x}{x}\leqslant \dfrac{1}{x} $
Or $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(-\dfrac{1}{x}\right)=0 $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{x}=0 $.
Par le théorème des gendarmes : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\sin x}{x}=0 $.
Exemple
Calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\cos\left(x^{2}\right)}{x+1} $.
Pour tout réel $ x $ : $ -1\leqslant \cos\left(x^{2}\right)\leqslant 1 $.
Pour $ x > -1 $, en divisant par $ x+1 > 0 $ :
$ -\dfrac{1}{x+1}\leqslant \dfrac{\cos\left(x^{2}\right)}{x+1}\leqslant \dfrac{1}{x+1} $
Or $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(-\dfrac{1}{x+1}\right)=0 $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{x+1}=0 $.
Par le théorème des gendarmes : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\cos\left(x^{2}\right)}{x+1}=0 $.