Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Connexion Inscription
Limites d'une fonction Exercices

Limites et encadrement

Durée estimée
10 minutes
Difficulté
Votre progression

Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.

Créer un compte

Objectif travaillé

Soit $ f $ une fonction définie sur $ \mathbb{R} $ telle que pour tout réel $ x $ : $ 1\leqslant f\left(x\right)\leqslant 2 $.

Calculer (si cela est possible) les limites suivantes :

  1. $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)+x $
  2. $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }xf\left(x\right) $
  3. $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f\left(x\right)}{x} $
  4. $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f\left(x\right)+x}{x^{2}f\left(x\right)} $

Corrigé

  1. On sait que $ 1\leqslant f\left(x\right) $ donc en ajoutant $ x $ à chaque membre :

    $ f\left(x\right)+x \geqslant 1+x $

    Or, $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }1+x=+\infty $

    donc d'après le théorème de comparaison quand $ x\rightarrow +\infty $ :

    $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)+x=+\infty $
  2. De même, $ 1\leqslant f\left(x\right) $ donc pour $ x $ positif $ xf\left(x\right)\geqslant x $

    Comme $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty $, le même théorème que précédemment permet de conclure que :

    $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }xf\left(x\right)=+\infty $
  3. $ 1\leqslant f\left(x\right)\leqslant 2 $ donc pour $ x $ strictement positif, en multipliant chaque membre par $ \dfrac{1}{x} $ (qui est aussi strictement positif) :

    $ \dfrac{1}{x}\leqslant \dfrac{f\left(x\right)}{x}\leqslant \dfrac{2}{x} $

    Or $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{x}=0 $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{2}{x}=0 $

    Donc d'après le théorème des gendarmes :

    $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f\left(x\right)}{x}=0 $
  4. On écrit :

    $ \dfrac{f\left(x\right)+x}{x^{2}f\left(x\right)}=\dfrac{f\left(x\right)}{x^{2}f\left(x\right)}+\dfrac{x}{x^{2}f\left(x\right)}=\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{xf\left(x\right)} $

    $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{x^{2}}=0 $

    Ensuite, pour calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{xf\left(x\right)} $ on peut poser $ X=xf\left(x\right) $.

    D'après la question 2. :

    $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }X=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }xf\left(x\right)=+\infty $

    donc $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{xf\left(x\right)}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{X}=0 $

    Finalement, par somme :

    $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f\left(x\right)+x}{x^{2}f\left(x\right)}=0 $