Résoudre un problème de partage
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Dans un problème de partage, on cherche à répartir plusieurs quantités en lots identiques sans reste, en utilisant le plus grand nombre de lots possible.
Pour qu'il n'y ait aucun reste, le nombre de lots doit diviser exactement chacune des quantités. C'est donc un diviseur commun à toutes les quantités. Puisqu'on veut le plus grand nombre de lots possible, on recherche le plus grand de ces diviseurs communs : c'est précisément le $ PGCD $.
- Repérer les quantités à répartir.
- Calculer le $ PGCD $ de ces quantités.
- Le $ PGCD $ est le nombre maximal de lots identiques.
- Diviser chaque quantité par le $ PGCD $ pour trouver la composition de chaque lot.
Bouquets de fleurs
Une fleuriste dispose de $ 48 $ roses et de $ 36 $ tulipes. Elle veut composer le maximum de bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs.
Combien de bouquets peut-elle faire ? Quelle est la composition de chaque bouquet ?
Étape 1 : Les quantités à répartir sont $ 48 $ roses et $ 36 $ tulipes.
Pour qu'aucune fleur ne reste, le nombre de bouquets doit diviser à la fois $ 48 $ et $ 36 $. On veut le plus grand nombre de bouquets possible, donc on cherche le plus grand diviseur commun à $ 48 $ et $ 36 $.
Étape 2 : On calcule $ PGCD\left(48~;~36\right) $.
On décompose en facteurs premiers :
Étape 3 : La fleuriste peut composer $ 12 $ bouquets au maximum.
Étape 4 : Chaque bouquet contient :
- $ 48 \div 12 = 4 $ roses
- $ 36 \div 12 = 3 $ tulipes
Sachets de bonbons
Un confiseur veut préparer des sachets identiques avec $ 60 $ caramels et $ 45 $ réglisses, en utilisant tous les bonbons.
Combien de sachets peut-il préparer ? Quelle est la composition de chaque sachet ?
Étape 1 : Les quantités à répartir sont $ 60 $ caramels et $ 45 $ réglisses.
Pour qu'aucun bonbon ne reste, le nombre de sachets doit diviser à la fois $ 60 $ et $ 45 $. On veut le plus grand nombre de sachets possible, donc on cherche le plus grand diviseur commun à $ 60 $ et $ 45 $.
Étape 2 : On calcule $ PGCD\left(60~;~45\right) $.
On décompose en facteurs premiers :
Étape 3 : Le confiseur peut préparer $ 15 $ sachets au maximum.
Étape 4 : Chaque sachet contient :
- $ 60 \div 15 = 4 $ caramels
- $ 45 \div 15 = 3 $ réglisses
Remarque
Cette méthode s'applique dès qu'on cherche à répartir plusieurs quantités en groupes identiques : bouquets de fleurs, sachets de bonbons, rangées de personnes, plateaux de gâteaux...
Si le $ PGCD $ vaut $ 1 $, les quantités sont premières entre elles et il n'est pas possible de former plusieurs lots identiques.
Attention
Le $ PGCD $ donne le nombre de lots, pas la taille de chaque lot. La taille de chaque lot s'obtient en divisant la quantité par le $ PGCD $.