Résoudre une équation du premier degré
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Pour résoudre une équation du type $ ax + b = cx + d $ :
- Regrouper les termes en $ x $ dans un membre et les constantes dans l'autre.
- Réduire chaque membre.
- Diviser par le coefficient de $ x $ pour isoler l'inconnue.
Rappel
On ne change pas les solutions d'une équation quand on ajoute (ou soustrait) un même nombre aux deux membres, ou quand on multiplie (ou divise) les deux membres par un même nombre non nul.
Équation simple
Résoudre $ 7x - 3 = 4x + 9 $.
Étape 1 : On regroupe les termes en $ x $ à gauche (on soustrait $ 4x $) et les constantes à droite (on ajoute $ 3 $) :
$7x - 4x = 9 + 3$
Étape 2 : On réduit chaque membre :
$3x = 12$
Étape 3 : On divise par $ 3 $ :
$ x = \dfrac{12}{3} = 4 $
La solution de l'équation est $\mathbf{4}$.
Vérification : $ 7 \times 4 - 3 = 25 $ et $ 4 \times 4 + 9 = 25 $. Les deux membres sont bien égaux.
Avec des parenthèses
Résoudre $ 3(2x - 1) = 5x + 4 $.
Étape 1 : On développe le membre de gauche :
$6x - 3 = 5x + 4$
Étape 2 : On regroupe les $ x $ à gauche et les constantes à droite :
$6x - 5x = 4 + 3$
$x = 7$
La solution de l'équation est $\mathbf{7}$.
Vérification : $ 3(2 \times 7 - 1) = 3 \times 13 = 39 $ et $ 5 \times 7 + 4 = 39 $.
Avec un résultat fractionnaire
Résoudre $ 5x + 2 = 3x + 9 $.
Étape 1 : On regroupe :
$5x - 3x = 9 - 2$
$2x = 7$
Étape 2 : On divise par $ 2 $ :
$ x = \dfrac{7}{2} $
La solution de l'équation est $\mathbf{\dfrac{7}{2}}$ (soit $ 3{,}5 $).
Attention
Quand on « fait passer » un terme de l'autre côté du signe $ = $, il change de signe.
Exemple : dans $ 5x - 3 = 2x + 7 $, le $ -3 $ passe à droite en $ +3 $ et le $ 2x $ passe à gauche en $ -2x $.
Une erreur fréquente est d'oublier ce changement de signe.
Cas particuliers
Il arrive que la résolution ne donne pas une solution unique.
Aucune solution : Résoudre $ 3x + 5 = 3x - 2 $.
On regroupe : $ 3x - 3x = -2 - 5 $, soit $ 0 = -7 $. C'est impossible, donc l'équation n'a aucune solution.
Une infinité de solutions : Résoudre $ 2(x + 3) = 2x + 6 $.
On développe : $ 2x + 6 = 2x + 6 $. On obtient $ 0 = 0 $, qui est toujours vrai. Tout nombre est solution de cette équation.