Triangle rectangle : Pythagore et mise en équation

Durée estimée

10 minutes

Difficulté

ABC est un triangle rectangle en A. Le côté $ [AB] $ mesure $ 12 $ cm. L'hypoténuse $ [BC] $ dépasse le côté $ [AC] $ de $ 6 $ cm.

On note $ x $ la longueur AC en centimètres. Exprimer la longueur BC en fonction de $ x $.
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ABC, montrer que $ x $ vérifie l'équation :

$ 12x + 36 = 144 $
Résoudre cette équation et en déduire les longueurs AC et BC.
Calculer l'aire du triangle ABC.

Corrigé

L'hypoténuse BC dépasse le côté AC de $ 6 $ cm, donc :

$ BC = x + 6 $
Le triangle ABC est rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :
$ AB^2 + AC^2 = BC^2 $
$ 12^2 + x^2 = (x + 6)^2 $

On développe le membre de droite :
$ 144 + x^2 = x^2 + 12x + 36 $

On soustrait $ x^2 $ de chaque côté :

$ 144 = 12x + 36 $

On retrouve bien l'équation $ 12x + 36 = 144 $.
On résout l'équation :
$ 12x + 36 = 144 $
$ 12x = 144 - 36 $
$ 12x = 108 $
$ x = 9 $

Donc $ AC = 9 $ cm et $ BC = 9 + 6 = $ $ 15 $ cm.

Vérification : $ AB^2 + AC^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 = 15^2 = BC^2 $.
L'aire d'un triangle rectangle est la moitié du produit des côtés de l'angle droit :

$ \mathcal{A} = \dfrac{AB \times AC}{2} = \dfrac{12 \times 9}{2} = \dfrac{108}{2} $

L'aire du triangle ABC vaut $ 54 $ cm$^2$.