Rectangle : périmètre et diagonale
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La cour d'un collège a la forme d'un rectangle ABCD. La longueur AB dépasse la largeur BC de $ 5 $ m. Le périmètre de la cour mesure $ 70 $ m.
- On note $ x $ la largeur BC (en mètres). Exprimer la longueur AB en fonction de $ x $.
- Écrire une équation traduisant que le périmètre de la cour vaut $ 70 $ m.
- Résoudre cette équation et en déduire les dimensions de la cour.
- Les élèves souhaitent tendre une corde le long de la diagonale $ [AC] $ pour séparer deux terrains de sport. En utilisant le théorème de Pythagore, calculer la longueur de cette corde.
Corrigé
La longueur AB dépasse la largeur BC de $ 5 $ m, donc :
$ AB = x + 5 $Le périmètre d'un rectangle vaut $ 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) $, donc :
$ 2(x + 5 + x) = 70 $On développe et on résout :
$ 2(2x + 5) = 70 $
$ 4x + 10 = 70 $
$ 4x = 60 $
$ x = 15 $La largeur vaut $ BC = 15 $ m et la longueur vaut $ AB = 15 + 5 = $ $ 20 $ m.
Vérification : $ 2 \times (20 + 15) = 2 \times 35 = 70 $ m.
Le triangle ABC est rectangle en B (car ABCD est un rectangle). On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABC :
$ AC^2 = AB^2 + BC^2 $
$ AC^2 = 20^2 + 15^2 $
$ AC^2 = 400 + 225 $
$ AC^2 = 625 $
$ AC = \sqrt{625} = 25 $La corde mesure $ 25 $ m.