Résoudre une équation avec ln
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- Déterminer le domaine de validité : vérifier que les arguments de chaque logarithme sont strictement positifs.
- Se ramener à la forme $ \ln(A) = \ln(B) $ : utiliser les propriétés algébriques pour regrouper les termes.
- Appliquer l'injectivité : $ \ln(A) = \ln(B) \Leftrightarrow A = B $ (pour $ A > 0 $ et $ B > 0 $).
- Résoudre l'équation obtenue et vérifier que chaque solution appartient au domaine de validité.
Attention : si l'équation est de la forme $ \ln(A) = k $ (avec $ k $ un réel), on passe à la forme exponentielle : $ A = e^{k} $.
Exemple
Résoudre $ \ln(2x - 1) = \ln(x + 3) $.
Domaine de validité : il faut $ 2x - 1 > 0 $ et $ x + 3 > 0 $, c'est-à-dire $ x > \dfrac{1}{2} $.
L'équation est déjà sous la forme $ \ln(A) = \ln(B) $, donc :
$ 2x - 1 = x + 3 $
$ x = 4 $
On vérifie : $ 4 > \dfrac{1}{2} $, la valeur est bien dans le domaine.
La solution est $ x = 4 $.
Exemple
Résoudre $ \ln(x) + \ln(x - 2) = \ln(3) $.
Domaine de validité : il faut $ x > 0 $ et $ x - 2 > 0 $, c'est-à-dire $ x > 2 $.
On regroupe le membre de gauche :
$ \ln(x(x - 2)) = \ln(3) $
Par injectivité :
$ x(x - 2) = 3 $
$ x^{2} - 2x - 3 = 0 $
On calcule le discriminant : $ \Delta = 4 + 12 = 16 $
$ x = \dfrac{2 + 4}{2} = 3 $ ou $ x = \dfrac{2 - 4}{2} = -1 $
On vérifie : $ x = 3 > 2 $ est dans le domaine, mais $ x = -1 < 2 $ ne l'est pas.
La solution est $ x = 3 $.
Exemple
Résoudre $ \ln(x - 1) = 2 $.
Domaine de validité : il faut $ x - 1 > 0 $, c'est-à-dire $ x > 1 $.
L'équation est de la forme $ \ln(A) = k $, on passe à la forme exponentielle :
$ x - 1 = e^{2} $
$ x = 1 + e^{2} $
On vérifie : $ 1 + e^{2} > 1 $, la valeur est bien dans le domaine.
La solution est $ x = 1 + e^{2} $.
Remarque
Penser à toujours vérifier les solutions dans le domaine de validité. Les propriétés algébriques de $ \ln $ peuvent introduire des solutions étrangères (comme $ x = -1 $ dans l'exemple 2).