Résoudre une équation ou une inéquation avec la fonction exponentielle
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La fonction exponentielle étant strictement croissante sur $ \mathbb{R} $, pour tous réels $ A $ et $ B $ :
- Étape 1 : écrire chaque membre sous la forme d'une seule exponentielle (en utilisant les propriétés algébriques si besoin).
- Étape 2 : appliquer l'équivalence pour se ramener à une équation ou une inéquation sans exponentielle, en conservant le même sens d'inégalité.
- Étape 3 : résoudre et conclure avec l'ensemble des solutions.
Équation du premier degré
Résoudre dans $ \mathbb{R} $ l'équation :
$ \text{e}^{2x+1}=\text{e}^{x-3} $
Étape 1 : les deux membres sont déjà sous la forme d'une seule exponentielle.
Étape 2 : on applique l'équivalence.
$ \text{e}^{2x+1}=\text{e}^{x-3} \iff 2x+1=x-3 $
Étape 3 : on résout.
$ 2x-x=-3-1 \iff x=-4 $
L'ensemble des solutions est :
Équation se ramenant au second degré
Résoudre dans $ \mathbb{R} $ l'équation :
$ \text{e}^{x^{2}}\times \text{e}^{-3x}=\dfrac{1}{\text{e}^{2}} $
Étape 1 : on regroupe chaque membre en une seule exponentielle.
Membre de gauche : $ \text{e}^{x^{2}}\times \text{e}^{-3x}=\text{e}^{x^{2}-3x} $.
Membre de droite : $ \dfrac{1}{\text{e}^{2}}=\text{e}^{-2} $.
L'équation devient : $ \text{e}^{x^{2}-3x}=\text{e}^{-2} $.
Étape 2 : on applique l'équivalence.
$ \text{e}^{x^{2}-3x}=\text{e}^{-2} \iff x^{2}-3x=-2 $
Étape 3 : on résout l'équation du second degré.
$ x^{2}-3x+2=0 $
Le discriminant vaut $ \Delta =(-3)^{2}-4\times 1\times 2=1 $, donc $ \sqrt{\Delta}=1 $.
$ x_{1}=\dfrac{3-1}{2}=1 $ et $ x_{2}=\dfrac{3+1}{2}=2 $.
L'ensemble des solutions est :
Inéquation du premier degré
Résoudre dans $ \mathbb{R} $ l'inéquation :
$ \text{e}^{3x-1}>\text{e}^{x+5} $
Étape 1 : les deux membres sont déjà sous la forme d'une seule exponentielle.
Étape 2 : la fonction exponentielle étant strictement croissante, on conserve le sens de l'inégalité.
$ \text{e}^{3x-1}>\text{e}^{x+5} \iff 3x-1>x+5 $
Étape 3 : on résout.
$ 3x-x>5+1 \iff 2x>6 \iff x>3 $
L'ensemble des solutions est :
Inéquation avec une constante
Résoudre dans $ \mathbb{R} $ l'inéquation :
$ \text{e}^{-2x+1}\leqslant \text{e} $
Étape 1 : on écrit le second membre sous forme exponentielle : $ \text{e}=\text{e}^{1} $.
$ \text{e}^{-2x+1}\leqslant \text{e}^{1} $
Étape 2 : on applique l'équivalence, le sens de l'inégalité est conservé.
$ \text{e}^{-2x+1}\leqslant \text{e}^{1} \iff -2x+1\leqslant 1 $
Étape 3 : on résout en divisant par $ -2 $ (on change alors le sens de l'inégalité).
$ -2x\leqslant 0 \iff x\geqslant 0 $
L'ensemble des solutions est :
Remarque
Constantes usuelles à reconnaître pour se ramener à une exponentielle :
- $ 1=\text{e}^{0} $
- $ \text{e}=\text{e}^{1} $
- $ \dfrac{1}{\text{e}}=\text{e}^{-1} $
- $ \sqrt{\text{e}}=\text{e}^{1/2} $
Attention
Une équation du type $ \text{e}^{A}=k $ ou une inéquation $ \text{e}^{A}<k $ avec $ k\leqslant 0 $ se résout en observant que $ \text{e}^{A}>0 $ pour tout $ A $ :
- $ \text{e}^{x}=-2 $ n'a aucune solution ($ S=\emptyset $).
- $ \text{e}^{x}>-5 $ est vraie pour tout $ x $ ($ S=\mathbb{R} $).
Lors de la résolution finale, ne pas oublier que diviser par un nombre négatif change le sens d'une inégalité (voir exemple 4).