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Fonction carré et cube Exercices

Position relative des courbes y = x² et y = x³

Durée estimée
20 minutes
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Objectif travaillé

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ et $g(x) = x^3$.
On note $\mathscr{P}$ la parabole représentant $f$ et $\mathscr{C}$ la courbe représentant $g$.

  1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\mathscr{P}$ et $\mathscr{C}$.

  2. Pour $x > 0$, on pose $h(x) = g(x) - f(x) = x^3 - x^2$.

    1. Factoriser $h(x)$.
    2. En déduire le signe de $h(x)$ selon les valeurs de $x$ dans $\left]0 ; +\infty\right[$.
    3. Quelle courbe est au-dessus de l'autre pour $0 < x < 1$ ? Et pour $x > 1$ ?

  3. Un fabricant de pièces métalliques compare deux modèles de production. Pour le modèle A, le coût de fabrication de $x$ kg de métal (avec $x > 0$) est $C_A(x) = x^2$ euros. Pour le modèle B, le coût est $C_B(x) = x^3$ euros.

    1. Pour une commande de $0{,}5$ kg, quel modèle est le moins coûteux ?
    2. Pour une commande de $3$ kg, quel modèle est le moins coûteux ?
    3. À partir de quelle masse le modèle A devient-il plus avantageux que le modèle B ?

Corrigé

  1. On cherche les valeurs de $x$ telles que $f(x) = g(x)$, c'est-à-dire $x^2 = x^3$.
    $x^3 - x^2 = 0$
    $x^2(x - 1) = 0$
    $x^2 = 0$ ou $x - 1 = 0$, donc $x = 0$ ou $x = 1$.
    Les points d'intersection sont $O(0 ; 0)$ et $A(1 ; 1)$.
    1. $h(x) = x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$.
      Donc $\mathbf{h(x) = x^2(x - 1)}$.

    2. Pour $x > 0$, on a $x^2 > 0$. Le signe de $h(x)$ dépend donc du signe de $x - 1$ :

      • Si $0 < x < 1$ : $x - 1 < 0$, donc $h(x) < 0$, c'est-à-dire $x^3 < x^2$.
      • Si $x = 1$ : $h(x) = 0$, c'est-à-dire $x^3 = x^2$.
      • Si $x > 1$ : $x - 1 > 0$, donc $h(x) > 0$, c'est-à-dire $x^3 > x^2$.
    3. Pour $0 < x < 1$ : $g(x) < f(x)$, donc $\mathscr{C}$ est en dessous de $\mathscr{P}$.
      Pour $x > 1$ : $g(x) > f(x)$, donc $\mathscr{C}$ est au-dessus de $\mathscr{P}$.
    1. Pour $x = 0{,}5$ kg :
      $C_A(0{,}5) = 0{,}5^2 = 0{,}25$ euros.
      $C_B(0{,}5) = 0{,}5^3 = 0{,}125$ euros.
      Comme $0 < 0{,}5 < 1$, on a $x^3 < x^2$, donc le modèle B est moins coûteux ($0{,}125$ euros contre $0{,}25$ euros).
    2. Pour $x = 3$ kg :
      $C_A(3) = 3^2 = 9$ euros.
      $C_B(3) = 3^3 = 27$ euros.
      Comme $3 > 1$, on a $x^3 > x^2$, donc le modèle A est moins coûteux ($9$ euros contre $27$ euros).
    3. D'après la question 2, $x^2 < x^3$ lorsque $x > 1$, c'est-à-dire $C_A(x) < C_B(x)$.
      Le modèle A devient plus avantageux à partir d'une masse strictement supérieure à $1$ kg.
      Pour $x = 1$ kg, les deux modèles coûtent le même prix ($1$ euro). Pour toute masse supérieure à $1$ kg, le modèle A est moins cher.

→ Pour réviser : Déterminer la position relative des courbes