Étudier le signe d’un trinôme
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Pour étudier le signe du trinôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ :
- Étape 1 : Identifier le signe de $a$
- Étape 2 : Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$
Étape 3 : Conclure :
- si $\Delta < 0$ : $P(x)$ est toujours du signe de $a$
- si $\Delta = 0$ : $P(x)$ est du signe de $a$ et s'annule en $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$
- si $\Delta > 0$ : $P(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines $x_1$ et $x_2$, et du signe opposé entre les racines
- Étape 4 : Dresser le tableau de signes
Cas Δ > 0 avec a > 0
Étudier le signe de $f(x) = x^2 - x - 6$.
Étape 1 : $a = 1 > 0$.
Étape 2 : $\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25$.
$\Delta > 0$, le trinôme admet deux racines :
Étape 3 : $a > 0$ donc $f(x)$ est positif à l'extérieur de $[-2\,;\,3]$ et négatif entre $-2$ et $3$.
Étape 4 : Tableau de signes :
Cas Δ = 0 avec a < 0
Étudier le signe de $g(x) = -x^2 + 4x - 4$.
Étape 1 : $a = -1 < 0$.
Étape 2 : $\Delta = 4^2 - 4 \times (-1) \times (-4) = 16 - 16 = 0$.
La racine double est :
Étape 3 : $a < 0$ donc $g(x)$ est négatif partout, et s'annule en $x_0 = 2$.
Étape 4 : Tableau de signes :
Remarque
Une astuce visuelle : pour $a > 0$ la parabole « sourit » et passe sous l'axe entre les racines (signe $-$ entre, $+$ à l'extérieur). Pour $a < 0$ la parabole « est triste » : signe $+$ entre les racines, $-$ à l'extérieur.
Attention
Ne pas confondre le signe de $a$ et le signe du trinôme. Pour $-x^2 + 4x - 4$, on a $a = \color{red}{-1}\color{black}$ (et non $1$) : le facteur de $x^2$ est négatif.