Effectuer un enchaînement de calculs avec fractions et puissances
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Pour simplifier une expression mêlant fractions et puissances de 10 :
- Respecter les priorités : parenthèses d'abord, puis puissances, puis multiplications/divisions, puis additions/soustractions.
- Séparer les coefficients numériques d'un coté et les puissances de 10 de l'autre.
- Simplifier chaque partie séparément (fractions pour les coefficients, règles des puissances pour les $ 10^{n} $).
- Écrire le résultat en notation scientifique si demandé (ajuster $ a $ pour que $ 1 \leqslant a < 10 $).
Expression avec puissances de 10
Calculer et donner le résultat en écriture scientifique :
$ A = \dfrac{6 \times 10^{4} \times 5 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{5}} $
Étape 1 : On sépare les coefficients et les puissances de 10 :
$ A = \dfrac{6 \times 5}{3} \times \dfrac{10^{4} \times 10^{-2}}{10^{5}} $
Étape 2 : On simplifie les coefficients :
$ \dfrac{6 \times 5}{3} = \dfrac{30}{3} = 10 $
Étape 3 : On simplifie les puissances de 10 :
$ \dfrac{10^{4} \times 10^{-2}}{10^{5}} = \dfrac{10^{4+(-2)}}{10^{5}} = \dfrac{10^{2}}{10^{5}} = 10^{2-5} = 10^{-3} $
Étape 4 : On rassemble et on ajuste pour l'écriture scientifique :
$ A = 10 \times 10^{-3} = 10^{1} \times 10^{-3} = 10^{-2} = 1 \times 10^{-2} $
L'écriture scientifique de $ A $ est $ 1 \times 10^{-2} $ et son écriture décimale est $ 0{,}01 $.
Expression type Brevet
Calculer et donner le résultat en écriture scientifique :
$ B = \dfrac{4{,}2 \times 10^{3} \times 2 \times 10^{-7}}{1{,}4 \times 10^{-2}} $
Étape 1 : On sépare coefficients et puissances de 10 :
$ B = \dfrac{4{,}2 \times 2}{1{,}4} \times \dfrac{10^{3} \times 10^{-7}}{10^{-2}} $
Étape 2 : Coefficients :
$ \dfrac{4{,}2 \times 2}{1{,}4} = \dfrac{8{,}4}{1{,}4} = 6 $
Étape 3 : Puissances de 10 :
$ \dfrac{10^{3} \times 10^{-7}}{10^{-2}} = \dfrac{10^{3+(-7)}}{10^{-2}} = \dfrac{10^{-4}}{10^{-2}} = 10^{-4-(-2)} = 10^{-2} $
Étape 4 : On rassemble :
$ B = 6 \times 10^{-2} $
Comme $ 1 \leqslant 6 < 10 $, c'est bien l'écriture scientifique. (L'écriture décimale est $ 0{,}06 $.)
Somme avec mise au même dénominateur
Calculer $ C = \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{6} $.
Étape 1 : On cherche un dénominateur commun. Le plus petit multiple commun de $ 3 $, $ 4 $ et $ 6 $ est $ 12 $.
Étape 2 : On réécrit chaque fraction :
$ \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12} \qquad \dfrac{5}{4} = \dfrac{15}{12} \qquad \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12} $
Étape 3 : On effectue les opérations :
$ C = \dfrac{8}{12} + \dfrac{15}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{8 + 15 - 2}{12} = \dfrac{21}{12} $
Étape 4 : On simplifie ($ 21 $ et $ 12 $ sont divisibles par $ 3 $) :
$ C = \dfrac{21 \div 3}{12 \div 3} = \dfrac{7}{4} $
Attention
- Ne pas oublier de regrouper séparément les coefficients et les puissances de 10. Mélanger les deux est la source d'erreur la plus fréquente.
- Penser à vérifier que le coefficient $ a $ vérifie bien $ 1 \leqslant a < 10 $ dans le résultat final. Si ce n'est pas le cas, ajuster en déplaçant la virgule et en compensant l'exposant.