QCM : Droite perpendiculaire à un plan et projeté orthogonal
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteObjectifs travaillés
Ce QCM porte sur l'orthogonalité droite/plan et le projeté orthogonal d'un point sur un plan. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Soit $\mathscr P$ le plan d'équation $2x - y + 3z + 1 = 0$. Lequel des vecteurs suivants est un vecteur directeur d'une droite perpendiculaire à $\mathscr P$ ?
- (Incorrect) $\vec{u}(2~;~1~;~3)$
- (Incorrect) $\vec{u}(1~;~-2~;~3)$
- (Correct) $\vec{u}(4~;~-2~;~6)$
- (Incorrect) $\vec{u}(3~;~-1~;~2)$
Question 2 : Soit le plan $\mathscr P : 2x - y + z + 3 = 0$ et le point $A(1~;~-1~;~2)$. Quelle est une représentation paramétrique de la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $\mathscr P$ ?
- (Correct) $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 - t \\ z = 2 + t \end{cases}$ avec $t \in \mathbb{R}$
- (Incorrect) $\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 - t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$ avec $t \in \mathbb{R}$
- (Incorrect) $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 2 - t \end{cases}$ avec $t \in \mathbb{R}$
- (Incorrect) $\begin{cases} x = 2t \\ y = -t \\ z = t \end{cases}$ avec $t \in \mathbb{R}$
Question 3 : Soit $\mathscr P$ le plan d'équation $x - y + z - 4 = 0$ et $A(1~;~1~;~1)$. Quelles sont les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $\mathscr P$ ?
- (Incorrect) $H(3~;~-1~;~3)$
- (Incorrect) $H(0~;~2~;~0)$
- (Incorrect) $H(1~;~1~;~1)$
- (Correct) $H(2~;~0~;~2)$
Question 4 : Soit le plan $\mathscr P : x - y + z - 4 = 0$ et le point $A(1~;~1~;~1)$. Le point $K(3~;~-1~;~3)$ est-il le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr P$ ?
- (Correct) Non, car $K$ n'appartient pas au plan $\mathscr P$
- (Incorrect) Oui, car $\overrightarrow{AK}$ est colinéaire au vecteur normal
- (Incorrect) Non, car $\overrightarrow{AK}$ n'est pas colinéaire au vecteur normal
- (Incorrect) Oui, car $K$ est distinct de $A$
Question 5 : Soit le plan $\mathscr P : x + 2y + 2z - 9 = 0$ et $O$ l'origine du repère. Quelle est la distance de $O$ au plan $\mathscr P$ ?
- (Incorrect) $9$
- (Incorrect) $1$
- (Correct) $3$
- (Incorrect) $\sqrt{3}$
Question 6 : Soit la droite $d$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 3t \end{cases}$ et le plan $\mathscr P : 4x - 2y + 6z + 1 = 0$. Quelle est la position relative de $d$ et $\mathscr P$ ?
- (Incorrect) Parallèle à $\mathscr P$ et non incluse
- (Correct) Perpendiculaire à $\mathscr P$
- (Incorrect) Sécante à $\mathscr P$ mais non perpendiculaire
- (Incorrect) Incluse dans $\mathscr P$