Déterminer les asymptotes d’une courbe
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Méthode
Pour déterminer les asymptotes horizontales de la courbe représentative d'une fonction $ f $ :
- on calcule $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right) $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left(x\right) $
- si l'une de ces limites vaut un réel $ l $, alors la droite d'équation $ y=l $ est asymptote horizontale à la courbe
Exemple
Déterminer les asymptotes horizontales de la courbe de $ f\left(x\right)=\dfrac{2x+1}{x-3} $.
On calcule les limites aux bornes du domaine de définition :
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{2x+1}{x-3}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{x\left(2+\dfrac{1}{x}\right)}{x\left(1-\dfrac{3}{x}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{2+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{3}{x}}=\dfrac{2}{1}=2 $
De même : $ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\dfrac{2x+1}{x-3}=2 $
La droite d'équation $ y=2 $ est asymptote horizontale à la courbe en $ +\infty $ et en $ -\infty $.
Asymptotes verticales
Méthode
Pour déterminer les asymptotes verticales de la courbe représentative d'une fonction $ f $ :
- on repère les valeurs $ a $ en lesquelles $ f $ n'est pas définie (valeurs qui annulent un dénominateur)
- on calcule $ \lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}f\left(x\right) $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}f\left(x\right) $
- si l'une de ces limites vaut $ +\infty $ ou $ -\infty $, alors la droite d'équation $ x=a $ est asymptote verticale à la courbe
Exemple
Déterminer les asymptotes verticales de la courbe de $ f\left(x\right)=\dfrac{2x+1}{x-3} $.
La fonction $ f $ n'est pas définie en $ x=3 $ (le dénominateur s'annule).
On étudie la limite en $ 3 $ :
- le numérateur tend vers $ 2\times 3+1=7 $
- le dénominateur tend vers $ 0 $
On est dans le cas d'une limite du type « $ \dfrac{k}{0} $ » avec $ k=7 > 0 $.
On détermine le signe du dénominateur au voisinage de $ 3 $ :
- si $ x\rightarrow 3^{-} $ : $ x-3 < 0 $ donc $ \dfrac{7}{x-3}\rightarrow -\infty $
- si $ x\rightarrow 3^{+} $ : $ x-3 > 0 $ donc $ \dfrac{7}{x-3}\rightarrow +\infty $
Donc : $ \lim\limits_{x\rightarrow 3^{-}}f\left(x\right)=-\infty $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}f\left(x\right)=+\infty $.
La droite d'équation $ x=3 $ est asymptote verticale à la courbe.
Exemple
Déterminer les asymptotes de la courbe de $ g\left(x\right)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}-4} $.
Asymptotes verticales : $ x^{2}-4=0 $ pour $ x=-2 $ et $ x=2 $.
En $ x=2 $ : le numérateur tend vers $ 4 > 0 $ et le dénominateur tend vers $ 0 $.
- si $ x\rightarrow 2^{-} $ : $ x^{2}-4 < 0 $ donc $ g\left(x\right)\rightarrow -\infty $
- si $ x\rightarrow 2^{+} $ : $ x^{2}-4 > 0 $ donc $ g\left(x\right)\rightarrow +\infty $
La droite $ x=2 $ est asymptote verticale.
Par un raisonnement analogue, la droite $ x=-2 $ est aussi asymptote verticale.
Asymptote horizontale :
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{x^{2}}{x^{2}-4}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{1-\dfrac{4}{x^{2}}}=1 $
La droite $ y=1 $ est asymptote horizontale en $ +\infty $ et en $ -\infty $.