Dériver une fonction polynôme
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Pour dériver une fonction polynôme $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $, on utilise les formules suivantes, valables pour tout $ x\in \mathbb{R} $ :
- Étape 1 : écrire $ f\left(x\right) $ comme une somme de monômes $ a_{n}x^{n} $.
- Étape 2 : dériver chaque monôme séparément en appliquant $ \left(ax^{n}\right)^{\prime}=anx^{n-1} $ et en supprimant le terme constant.
- Étape 3 : additionner les dérivées obtenues pour former $ f^{\prime}\left(x\right) $.
Polynôme à coefficients entiers
Soit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par :
$ f\left(x\right)=2x^{3}-5x^{2}+4x-7 $
Étape 1 : $ f $ est la somme des monômes $ 2x^{3} $, $ -5x^{2} $, $ 4x $ et $ -7 $.
Étape 2 : on dérive chaque terme.
$ \left(2x^{3}\right)^{\prime}=2\times 3x^{2}=6x^{2} $
$ \left(-5x^{2}\right)^{\prime}=-5\times 2x=-10x $
$ \left(4x\right)^{\prime}=4 $
$ \left(-7\right)^{\prime}=0 $
Étape 3 : on additionne.
Polynôme à coefficients fractionnaires
Soit $ g $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par :
$ g\left(x\right)=\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}-2x+5 $
On dérive terme à terme :
$ \left(\dfrac{1}{3}x^{3}\right)^{\prime}=\dfrac{1}{3}\times 3x^{2}=\color{red}{x^{2}}\color{black} $
$ \left(\dfrac{1}{2}x^{2}\right)^{\prime}=\dfrac{1}{2}\times 2x=\color{red}{x}\color{black} $
$ \left(-2x\right)^{\prime}=-2 $
$ \left(5\right)^{\prime}=0 $
On additionne :
Remarque
La dérivée d'un polynôme de degré $ n $ est un polynôme de degré $ n-1 $.
Les termes constants (sans $ x $) disparaissent systématiquement à la dérivation.
Attention
Ne pas oublier de multiplier le coefficient par l'exposant. L'erreur la plus fréquente est d'écrire $ \left(5x^{2}\right)^{\prime}=5x $ au lieu de $ 10x $.
Bien diminuer l'exposant de $ 1 $ : $ \left(x^{3}\right)^{\prime}=3x^{2} $, pas $ 3x^{3} $.