Dériver une fonction de la forme $\text{e}^{ax+b}$
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Pour tous réels $ a $ et $ b $, la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f(x)=\text{e}^{ax+b} $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et, pour tout $ x\in \mathbb{R} $ :
- Étape 1 : identifier les valeurs de $ a $ et $ b $ dans l'exposant $ ax+b $.
- Étape 2 : appliquer la formule $ f^{\prime}(x)=a\,\text{e}^{ax+b} $.
- Étape 3 : étudier le signe de $ f^{\prime}(x) $ (qui ne dépend que du signe de $ a $, puisque $ \text{e}^{ax+b}>0 $) pour déterminer les variations.
Dérivée avec un coefficient négatif
Soit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par :
$ f(x)=\text{e}^{-x} $
Étape 1 : l'exposant est $ -x=-1\times x+0 $, donc $ a=-1 $ et $ b=0 $.
Étape 2 : on applique la formule.
Étape 3 : pour tout $ x\in \mathbb{R} $, $ \text{e}^{-x}>0 $, donc $ f^{\prime}(x)<0 $.
La fonction $ f $ est strictement décroissante sur $ \mathbb{R} $.
Dérivée avec coefficient multiplicatif et étude des variations
Soit $ g $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par :
$ g(x)=2\,\text{e}^{3x-1} $
Étape 1 : l'exposant est $ 3x-1 $, donc $ a=3 $ et $ b=-1 $. Le facteur $ 2 $ reste devant la dérivée.
Étape 2 : on applique la formule en gardant le facteur $ 2 $.
$ g^{\prime}(x)=2\times 3\,\text{e}^{3x-1} $
Étape 3 : pour tout $ x\in \mathbb{R} $, $ \text{e}^{3x-1}>0 $ et $ 6>0 $, donc $ g^{\prime}(x)>0 $.
La fonction $ g $ est strictement croissante sur $ \mathbb{R} $.
Remarque
Le signe de la dérivée $ f^{\prime}(x)=a\,\text{e}^{ax+b} $ dépend uniquement du signe de $ a $, car $ \text{e}^{ax+b} $ est toujours strictement positif :
- si $ a>0 $, alors $ f $ est strictement croissante sur $ \mathbb{R} $ ;
- si $ a<0 $, alors $ f $ est strictement décroissante sur $ \mathbb{R} $.
Attention
Ne pas oublier de recopier l'exponentielle dans la dérivée. L'erreur fréquente est d'écrire $ \left(\text{e}^{3x-1}\right)^{\prime}=3 $ au lieu de $ 3\,\text{e}^{3x-1} $.
Ne pas dériver l'exposant comme une puissance : $ \left(\text{e}^{3x-1}\right)^{\prime}\neq (3x-1)\text{e}^{3x-2} $. La règle pour l'exponentielle est différente de celle pour les puissances $ x^{n} $.