Fonction exponentielle
Exercices
Exponentielle – Dérivée, variations et tangente
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On considère la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=\text{e}^{-2x+1} $.
- Calculer $ f^{\prime}\left(x\right) $ pour tout réel $ x $.
- Étudier le signe de $ f^{\prime}\left(x\right) $ sur $ \mathbb{R} $, puis dresser le tableau de variations de $ f $.
- Déterminer une équation de la tangente $ \left(T\right) $ à la courbe $ \mathscr{C} $ représentative de $ f $ au point d'abscisse $ 0 $.
Corrigé
- La fonction $ f $ est de la forme $ \text{e}^{ax+b} $ avec $ a=-2 $ et $ b=1 $. Sa dérivée est donc $ f^{\prime}\left(x\right)=a\,\text{e}^{ax+b} $, soit pour tout réel $ x $ : $\mathbf{f^{\prime}\left(x\right)=-2\,\text{e}^{-2x+1}}$.
Pour tout réel $ x $, $ \text{e}^{-2x+1}>0 $, et $ -2<0 $, donc $ f^{\prime}\left(x\right)<0 $ sur $ \mathbb{R} $. La fonction $ f $ est donc strictement décroissante sur $ \mathbb{R} $.
- On utilise l'équation de la tangente $ y=f^{\prime}\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right) $. On calcule $ f\left(0\right)=\text{e}^{-2\times 0+1}=\text{e}^{1}=\text{e} $ et $ f^{\prime}\left(0\right)=-2\,\text{e}^{-2\times 0+1}=-2\text{e} $. Une équation de la tangente est donc $\mathbf{y=-2\text{e}\,x+\text{e}}$.