Dériver une fonction composée
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Théorème (dérivée d'une fonction composée)
Soit $ u $ une fonction dérivable sur un intervalle $ I $ et $ f $ une fonction dérivable sur un intervalle contenant les valeurs de $ u $.
La fonction composée $ g : x \mapsto f(u(x)) $ est dérivable sur $ I $ et :
Méthode
Méthode (dériver une fonction composée)
Pour dériver une fonction de la forme $ g(x) = f(u(x)) $ :
- Identifier la fonction « extérieure » $ f $ et la fonction « intérieure » $ u $.
- Calculer $ u'(x) $.
- Appliquer la formule : $ g'(x) = u'(x) \times f'(u(x)) $.
Remarque
Les formules les plus fréquentes en Terminale sont :
| Fonction $ g(x) $ | Dérivée $ g'(x) $ |
| $ (u(x))^n $ | $ n \cdot u'(x) \cdot (u(x))^{n-1} $ |
| $ \sqrt{u(x)} $ | $ \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} $ |
| $ e^{u(x)} $ | $ u'(x) \cdot e^{u(x)} $ |
| $ \ln(u(x)) $ | $ \dfrac{u'(x)}{u(x)} $ |
| $ \cos(u(x)) $ | $ -u'(x) \cdot \sin(u(x)) $ |
| $ \sin(u(x)) $ | $ u'(x) \cdot \cos(u(x)) $ |
Exemple 1 — Dérivée de $ e^u $
Exemple
Soit $ g(x) = e^{3x+1} $.
On identifie $ f(t) = e^t $ et $ u(x) = 3x + 1 $.
$ u'(x) = 3 $ et $ f'(t) = e^t $, donc $ f'(u(x)) = e^{3x+1} $.
On applique la formule :
$ g'(x) = u'(x) \times f'(u(x)) = 3e^{3x+1} $
Exemple 2 — Dérivée de $ \sqrt{u} $
Exemple
Soit $ g(x) = \sqrt{2x^2 + 1} $.
On identifie $ u(x) = 2x^2 + 1 $ et $ u'(x) = 4x $.
On applique la formule $ \left(\sqrt{u}\right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} $ :
$ g'(x) = \dfrac{4x}{2\sqrt{2x^2 + 1}} = \dfrac{2x}{\sqrt{2x^2 + 1}} $
Exemple 3 — Dérivée de $ \ln(u) $
Exemple
Soit $ g(x) = \ln(x^2 + 3) $, définie pour tout $ x \in \mathbb{R} $ car $ x^2 + 3 > 0 $.
On identifie $ u(x) = x^2 + 3 $ et $ u'(x) = 2x $.
On applique la formule $ \left(\ln(u)\right)' = \dfrac{u'}{u} $ :
$ g'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 3} $