Dénombrer à l’aide du principe multiplicatif
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Pour dénombrer les résultats possibles d'une expérience comportant des choix successifs indépendants :
- Étape 1 : Identifier les choix successifs à effectuer.
- Étape 2 : Compter le nombre de possibilités pour chaque choix.
- Étape 3 : Multiplier les nombres de possibilités entre eux.
Remarque
Ce principe repose sur le cardinal du produit cartésien :
Cas particulier : si chaque choix porte sur le même ensemble E de cardinal $ n $ et qu'on effectue $ p $ choix (avec répétition possible), le nombre de résultats est $ n^p $.
Code de cadenas
Un cadenas est composé de 4 roulettes, chacune pouvant afficher un chiffre de 0 à 9. Combien de codes différents peut-on former ?
Étape 1 : On effectue 4 choix successifs : le chiffre de chaque roulette.
Étape 2 : Pour chaque roulette, il y a 10 possibilités (les chiffres de 0 à 9).
Étape 3 : On multiplie :
Il y a $\mathbf{10\,000}$ codes possibles.
Repas au restaurant
Un restaurant propose un menu avec 3 entrées, 4 plats et 2 desserts. Combien de menus différents peut-on composer ?
Étape 1 : On effectue 3 choix successifs : l'entrée, le plat et le dessert.
Étape 2 : Il y a 3 possibilités pour l'entrée, 4 pour le plat et 2 pour le dessert.
Étape 3 : On multiplie :
Il y a $\mathbf{24}$ menus possibles.
Attention
Le principe multiplicatif ne s'applique que si les choix sont indépendants les uns des autres. Si le nombre de possibilités pour un choix dépend des choix précédents, il faut adapter le raisonnement (c'est le cas des arrangements).