Démontrer que deux triangles sont égaux
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Pour démontrer que deux triangles sont égaux, on doit montrer que l'un des trois cas d'égalité est vérifié.
- Dresser la liste des éléments connus dans chaque triangle (longueurs de côtés, mesures d'angles).
- Chercher les correspondances : quels côtés ou angles sont deux à deux de même mesure ?
- Identifier le cas d'égalité qui s'applique :
| Cas | Ce qu'il faut vérifier |
| CCC | 3 paires de côtés de même longueur |
| CAC | 2 paires de côtés de même longueur et l'angle compris de même mesure |
| ACA | 1 paire de côtés de même longueur et les 2 angles adjacents de même mesure |
Remarque
Penser à chercher des côtés communs, des propriétés de symétrie ou des angles formés par des droites parallèles. Ce sont des sources fréquentes d'éléments égaux.
Exemples
Cas CCC
$ABCD$ est un losange. Démontrer que les triangles $ABD$ et $CBD$ sont égaux.
Étape 1 : On identifie les éléments égaux entre les triangles $ABD$ et $CBD$.
Étape 2 : Comme $ABCD$ est un losange, ses quatre côtés sont de même longueur :
- $AB = CB$ (côtés du losange)
- $AD = CD$ (côtés du losange)
- $BD = BD$ (côté commun)
Étape 3 : Les trois côtés sont deux à deux de même longueur. D'après le cas CCC, les triangles $ABD$ et $CBD$ sont égaux.
Cas ACA
Les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont parallèles. Le point $I$ est le milieu du segment $[EG]$.
Démontrer que les triangles $EIF$ et $GIH$ sont égaux.
Étape 1 : On identifie les éléments égaux entre les triangles $EIF$ et $GIH$.
Étape 2 :
- $EI = GI$ car $I$ est le milieu de $[EG]$.
- $\widehat{IEF} = \widehat{IGH}$ : ce sont des angles alternes-internes formés par les parallèles $(EF)$ et $(GH)$ coupées par la sécante $(EG)$.
- $\widehat{EIF} = \widehat{GIH}$ : ce sont des angles opposés par le sommet.
Étape 3 : Le côté $[EI]$ est compris entre les deux angles $\widehat{IEF}$ et $\widehat{EIF}$ de même mesure que les angles correspondants du triangle $GIH$. D'après le cas ACA, les triangles $EIF$ et $GIH$ sont égaux.
Attention
- Pour le cas CAC, vérifier que l'angle est bien compris entre les deux côtés de même longueur. Si l'angle est situé ailleurs, on ne peut pas conclure.
- Pour le cas ACA, vérifier que le côté est bien compris entre les deux angles de même mesure. Un côté opposé à l'un des angles ne permet pas de conclure.
- Bien préciser la correspondance entre les sommets des deux triangles.