Bissectrice d’un angle et égalité de longueurs
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$xOy$ est un angle saillant. La demi-droite $[Oz)$ est la bissectrice de cet angle. Sur la demi-droite $[Ox)$, on place le point $A$ et sur la demi-droite $[Oy)$, on place le point $B$ tels que $OA = OB$. Le point $M$ est un point quelconque de la bissectrice $[Oz)$, distinct de $O$.
- Justifier que $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$.
- Démontrer que les triangles $OAM$ et $OBM$ sont égaux.
- En déduire que $MA = MB$.
- Démontrer que la droite $(OM)$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
Corrigé
- La demi-droite $[Oz)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{xOy}$ : elle partage cet angle en deux angles de même mesure.
Comme $A$ est sur $[Ox)$, $B$ est sur $[Oy)$ et $M$ est sur $[Oz)$, on a bien $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$. On compare les triangles $OAM$ et $OBM$ :
- $OA = OB$ (donné par l'énoncé).
- $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$ (question 1).
- $OM = OM$ (côté commun aux deux triangles).
L'angle $\widehat{AOM}$ est compris entre les côtés $[OA]$ et $[OM]$ ; l'angle $\widehat{BOM}$ est compris entre les côtés $[OB]$ et $[OM]$. D'après le cas CAC, les triangles $OAM$ et $OBM$ sont égaux.
Deux triangles égaux ont leurs côtés deux à deux de même longueur. Comme $OAM$ et $OBM$ sont égaux, on a en particulier :
$MA = MB$.- D'après l'énoncé, $OA = OB$ : le point $O$ est équidistant des extrémités du segment $[AB]$.
La question 3 donne $MA = MB$ : le point $M$ est lui aussi équidistant de $A$ et de $B$.
Or tout point équidistant des extrémités d'un segment appartient à sa médiatrice. Les points $O$ et $M$ appartiennent donc tous les deux à la médiatrice de $[AB]$ : la droite $(OM)$ est la médiatrice de $[AB]$.
Pour réviser : Démontrer que deux triangles sont égaux.