Démontrer qu’un triangle est rectangle
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On utilise la réciproque du théorème de Pythagore lorsqu'on connait les longueurs des trois côtés d'un triangle et qu'on veut démontrer qu'il est rectangle.
Propriété
Si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
La méthode est la suivante :
- Identifier le plus grand côté du triangle.
- Calculer séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres.
- Comparer les deux résultats.
- Conclure en citant la réciproque du théorème de Pythagore.
Attention
Il faut toujours calculer séparément les deux expressions avant de les comparer. Ne jamais écrire directement l'égalité sans l'avoir vérifiée.
Exemple 1 : le triangle est rectangle
Soit $ ABC $ un triangle tel que $ AB = 15 $, $ AC = 9 $ et $ BC = 12 $. Le triangle $ ABC $ est-il rectangle ?
Solution :
Le plus grand côté est $ [AB] $ avec $ AB = 15 $.
On calcule $ AB^{2} $ :
$ AB^{2} = 15^{2} = 225 $
On calcule $ AC^{2} + BC^{2} $ :
$ AC^{2} + BC^{2} = 9^{2} + 12^{2} = 81 + 144 = 225 $
On constate que $ AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} $.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ ABC $ est rectangle en $ C $.
Exemple 2 : le triangle n'est pas rectangle
Soit $ DEF $ un triangle tel que $ DE = 7 $, $ EF = 5 $ et $ DF = 4 $. Le triangle $ DEF $ est-il rectangle ?
Solution :
Le plus grand côté est $ [DE] $ avec $ DE = 7 $.
On calcule $ DE^{2} $ :
$ DE^{2} = 7^{2} = 49 $
On calcule $ EF^{2} + DF^{2} $ :
$ EF^{2} + DF^{2} = 5^{2} + 4^{2} = 25 + 16 = 41 $
On constate que $ DE^{2} \neq EF^{2} + DF^{2} $ car $ 49 \neq 41 $.
D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $ DEF $ n'est pas rectangle.