Comparaisons avec la fonction racine carrée

1. On écrit $3 = \sqrt{9}$.
   Comme $7 < 9$ et que la fonction racine carrée est strictement croissante sur $\left[0 ; +\infty\right[$ :
   $\sqrt{7} < \sqrt{9} = 3$
   Donc $\mathbf{\sqrt{7} < 3}$.
2. On compare les carrés des deux nombres (qui sont tous deux positifs) :
   $(2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$ et $(\sqrt{13})^2 = 13$
   Comme $12 < 13$ et que les deux nombres sont positifs :
   $\mathbf{2\sqrt{3} < \sqrt{13}}$
3. Il suffit de comparer $\sqrt{5}$ et $2$.
   On écrit $2 = \sqrt{4}$. Comme $5 > 4$ et que la fonction racine carrée est croissante :
   $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$
   On en déduit $\sqrt{5} + 1 > 2 + 1 = 3$, donc $\mathbf{\sqrt{5} + 1 > 3}$.
4. On a $0 < \sqrt{2} < \sqrt{5}$ (car $2 < 5$ et la racine carrée est croissante).
   La fonction inverse est strictement décroissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$, donc :
   $\mathbf{\dfrac{1}{\sqrt{2}} > \dfrac{1}{\sqrt{5}}}$

→ Pour réviser : Comparer deux nombres avec la fonction racine carrée