Calculer des probabilités cumulées avec la loi binomiale
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Pour calculer des probabilités cumulées lorsque $ X \sim \mathscr B(n ; p) $ :
- Étape 1 : Identifier le type de probabilité demandé et le traduire en notation mathématique :
« au plus $ k $ succès » = $ p(X \leqslant k) $ ;
« au moins $ k $ succès » = $ p(X \geqslant k) $ ;
« entre $ a $ et $ b $ succès » = $ p(a \leqslant X \leqslant b) $. - Étape 2 : Choisir la méthode de calcul la plus efficace :
Somme directe : $ p(X \leqslant k) = \displaystyle\sum_{i=0}^{k} p(X = i) $ (pratique quand $ k $ est petit).
Complément : $ p(X \geqslant k) = 1 - p(X \leqslant k - 1) $ (pratique quand $ k $ est grand). - Étape 3 : Effectuer le calcul (à la calculatrice, utiliser la fonction binomFRép ou binomcdf).
Contrôle qualité — au plus 2 défauts
Une machine produit des pièces dont 10 % sont défectueuses. On prélève un échantillon de 15 pièces. On note $ X $ le nombre de pièces défectueuses. Calculer la probabilité d'obtenir au plus 2 pièces défectueuses.
Étape 1 : On cherche $ p(X \leqslant 2) $ avec $ X \sim \mathscr B(15 ; 0{,}1) $.
Étape 2 : On utilise la somme directe car $ k = 2 $ est petit :
$ p(X \leqslant 2) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) $
Étape 3 : On calcule chaque terme :
$ p(X = 0) = \binom{15}{0} (0{,}1)^0 (0{,}9)^{15} = (0{,}9)^{15} \approx 0{,}2059 $
$ p(X = 1) = \binom{15}{1} (0{,}1)^1 (0{,}9)^{14} = 15 \times 0{,}1 \times (0{,}9)^{14} \approx 0{,}3432 $
$ p(X = 2) = \binom{15}{2} (0{,}1)^2 (0{,}9)^{13} = 105 \times 0{,}01 \times (0{,}9)^{13} \approx 0{,}2669 $
On additionne :
La probabilité d'avoir au plus 2 pièces défectueuses est d'environ $\mathbf{0{,}816}$.
Sondage — au moins 8 personnes favorables
Dans un sondage, 60 % de la population est favorable à un projet. On interroge 12 personnes au hasard. On note $ X $ le nombre de personnes favorables. Calculer la probabilité d'obtenir au moins 8 personnes favorables.
Étape 1 : On cherche $ p(X \geqslant 8) $ avec $ X \sim \mathscr B(12 ; 0{,}6) $.
Étape 2 : On utilise le complément car calculer $ p(X \leqslant 7) $ regroupe 8 termes alors que $ p(X \geqslant 8) $ en regroupe 5 :
$ p(X \geqslant 8) = 1 - p(X \leqslant 7) $
Mais ici, calculons directement la somme des 5 termes :
$ p(X \geqslant 8) = p(X = 8) + p(X = 9) + p(X = 10) + p(X = 11) + p(X = 12) $
Étape 3 : À la calculatrice (binomFdp pour chaque valeur) :
$ p(X = 8) \approx 0{,}2128 $
$ p(X = 9) \approx 0{,}1419 $
$ p(X = 10) \approx 0{,}0639 $
$ p(X = 11) \approx 0{,}0174 $
$ p(X = 12) \approx 0{,}0022 $
On additionne :
La probabilité d'avoir au moins 8 personnes favorables est d'environ $\mathbf{0{,}438}$.
Remarque
Sur la calculatrice, la fonction binomFRép (ou binomcdf) donne directement $ p(X \leqslant k) $. Pour obtenir $ p(X \geqslant k) $, on calcule $ 1 - \text{binomFRép}(n, p, k-1) $.
Attention
- Bien distinguer les inégalités strictes et larges : « au moins $ k $ » signifie $ X \geqslant k $ (la valeur $ k $ est incluse) ; « plus de $ k $ » signifie $ X > k $ soit $ X \geqslant k + 1 $.
- Pour le passage au complément, vérifier le décalage d'indice : $ p(X \geqslant k) = 1 - p(X \leqslant k - 1) $ et non $ 1 - p(X \leqslant k) $.