Calculer une probabilité en situation d’équiprobabilité
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Méthode
Pour calculer la probabilité d'un événement dans une expérience où les issues sont équiprobables :
- Lister toutes les issues possibles et compter le nombre total d'issues.
- Compter le nombre d'issues qui réalisent l'événement.
- Écrire la probabilité sous forme de fraction, puis la simplifier si possible.
Exemple 1 : tirer une boule rouge
Un sac contient $ 4 $ boules rouges, $ 3 $ boules vertes et $ 2 $ boules jaunes, toutes indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité de l'événement R : « tirer une boule rouge ».
Étape 1 : Le nombre total d'issues est le nombre total de boules : $ 4 + 3 + 2 = 9 $.
Étape 2 : Le nombre d'issues qui réalisent R est le nombre de boules rouges : $ 4 $.
Étape 3 :
La probabilité de tirer une boule rouge vaut $ \dfrac{4}{9} $.
Exemple 2 : obtenir un multiple de 3
On lance un dé à 6 faces non truqué. Calculer la probabilité de l'événement M : « obtenir un multiple de $ 3 $ ».
Étape 1 : Les issues possibles sont $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $, $ 5 $ et $ 6 $. Il y a $ 6 $ issues au total.
Étape 2 : Les multiples de $ 3 $ parmi ces issues sont : $ 3 $ et $ 6 $. Il y a donc $ 2 $ issues qui réalisent M.
Étape 3 :
La probabilité d'obtenir un multiple de $ 3 $ vaut $ \dfrac{1}{3} $.
Exemple 3 : une classe
Dans une classe de $ 30 $ élèves, il y a $ 18 $ filles et $ 12 $ garçons. Le professeur choisit un élève au hasard. Calculer la probabilité que ce soit un garçon.
Étape 1 : Chaque élève a la même chance d'être choisi : il y a $ 30 $ issues équiprobables.
Étape 2 : Le nombre d'issues favorables est le nombre de garçons : $ 12 $.
Étape 3 :
La probabilité de choisir un garçon vaut $ \dfrac{2}{5} $, soit $ 0{,}4 $ ou $ 40\,\% $.
Exemple 4 : une voyelle
On tire au hasard une lettre parmi les $ 26 $ lettres de l'alphabet. Calculer la probabilité d'obtenir une voyelle.
Étape 1 : Il y a $ 26 $ issues équiprobables (les $ 26 $ lettres).
Étape 2 : Les voyelles de l'alphabet sont : a, e, i, o, u, y. Il y a donc $ 6 $ issues qui réalisent l'événement « obtenir une voyelle ».
Étape 3 :
La probabilité d'obtenir une voyelle vaut $ \dfrac{3}{13} $.
Attention
- La formule ne s'applique que si les issues sont équiprobables. Avec un dé truqué ou une roue aux secteurs de tailles différentes, il faut réfléchir autrement.
- Le nombre d'issues favorables va toujours au numérateur, jamais au dénominateur.
- Une probabilité est toujours comprise entre $ 0 $ et $ 1 $ : si le résultat est plus grand que $ 1 $, il y a une erreur (souvent un numérateur et un dénominateur inversés).