Roue de loterie : trois écritures d’une probabilité
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Une roue de loterie est divisée en $ 20 $ secteurs de même taille. Le tableau ci-dessous donne le nombre de secteurs associés à chaque gain :
| Gain (en €) | $ 0 $ | $ 2 $ | $ 5 $ | $ 10 $ |
| Nombre de secteurs | $ 6 $ | $ 8 $ | $ 4 $ | $ 2 $ |
On fait tourner la roue ; chaque secteur a la même chance de s'arrêter face au repère.
- Vérifier que le nombre total de secteurs est bien $ 20 $.
- Justifier que les issues sont équiprobables.
- Calculer la probabilité de gagner exactement $ 5 $ €. Exprimer ce résultat sous forme de fraction simplifiée, de nombre décimal et de pourcentage.
- Calculer la probabilité de gagner au moins $ 2 $ €, puis l'exprimer en pourcentage.
- Le directeur de la fête annonce que la probabilité de ne rien gagner (gain nul) vaut $ 25\,\% $. A-t-il raison ? Justifier par un calcul.
Corrigé
- On additionne les nombres de secteurs : $ 6 + 8 + 4 + 2 = 20 $. La roue compte bien $ 20 $ secteurs.
- Les $ 20 $ secteurs ont la même taille, donc chacun a la même chance que la roue s'y arrête : les issues sont équiprobables.
Sur les $ 20 $ secteurs, $ 4 $ donnent un gain de $ 5 $ €.
$ P(5\,\text{€}) = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5} $.On convertit ensuite :
$ \dfrac{1}{5} = 0{,}2 = 20\,\% $Gagner « au moins $ 2 $ € » signifie gagner $ 2 $ €, $ 5 $ € ou $ 10 $ €. Le nombre de secteurs favorables vaut :
$ 8 + 4 + 2 = 14 $.$ P(\text{au moins } 2\,\text{€}) = \dfrac{14}{20} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7 $, soit $\mathbf{70\,\%}$.
Le nombre de secteurs « $ 0 $ € » vaut $ 6 $, donc :
$ P(0\,\text{€}) = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3 $, soit $ 30\,\% $.La probabilité réelle est de $ 30\,\% $, pas de $ 25\,\% $ : le directeur a tort.
Pour réviser : Exprimer une probabilité sous différentes formes.