Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Connexion Inscription
Probabilités Exercices

Tombola : probabilités, complément et comparaison

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
Votre progression

Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.

Créer un compte

Objectifs travaillés

Une association organise une tombola avec $ 200 $ billets numérotés de $ 1 $ à $ 200 $, tous identiques. Un seul billet gagnant sera tiré au sort à la fin de la soirée. Quatre élèves ont acheté des billets ; le reste est réparti entre les autres participants.

Participant Maxime Léa Hugo Sarah Autres
Nombre de billets $ 12 $ $ 12 $ $ 25 $ $ 51 $ $ ? $
  1. Justifier que les $ 200 $ issues du tirage sont équiprobables.
  2. Calculer la probabilité que Maxime gagne. Exprimer le résultat sous forme de fraction simplifiée et en pourcentage.
  3. Léa a acheté autant de billets que Maxime. La probabilité qu'elle gagne est-elle la même que celle de Maxime ? Justifier.
    1. Combien de billets ont été achetés par les autres participants ?
    2. En déduire la probabilité que le gagnant ne soit ni Maxime, ni Léa, ni Hugo, ni Sarah. Donner le résultat en fraction simplifiée et en pourcentage.
  5. Sarah affirme : « J'ai $ 51 $ billets sur $ 200 $, donc j'ai plus d'une chance sur quatre de gagner. » A-t-elle raison ? Justifier par un calcul.

Corrigé

  1. Les $ 200 $ billets sont identiques et un seul est tiré au hasard : chaque billet a la même chance d'être choisi. Les $ 200 $ issues sont donc équiprobables.

  2. Maxime possède $ 12 $ billets sur $ 200 $ :
    $ P(\text{Maxime}) = \dfrac{12}{200} = \dfrac{3}{50} $.

    On convertit en pourcentage : $ \dfrac{3}{50} = \dfrac{6}{100} = 0{,}06 $, soit $\mathbf{6\,\%}$.

  3. Léa a acheté $ 12 $ billets, comme Maxime. Le nombre d'issues qui réalisent « Léa gagne » est donc le même que pour Maxime, et le nombre total d'issues est inchangé :
    $ P(\text{Léa}) = \dfrac{12}{200} = \dfrac{3}{50} $.

    Les deux probabilités sont donc égales : chaque billet ayant la même chance, seules les quantités de billets comptent.

    1. Maxime, Léa, Hugo et Sarah possèdent ensemble :
      $ 12 + 12 + 25 + 51 = 100 $ billets.

      Comme la tombola compte $ 200 $ billets au total, il reste pour les autres participants :
      $ 200 - 100 = \mathbf{100} $ billets.

    2. La probabilité que le gagnant fasse partie des autres participants vaut :
      $ P(\text{autres}) = \dfrac{100}{200} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 $, soit $\mathbf{50\,\%}$.

  5. La probabilité que Sarah gagne vaut :
    $ P(\text{Sarah}) = \dfrac{51}{200} $.

    Une chance sur quatre correspond à $ \dfrac{1}{4} = \dfrac{50}{200} $.

    On compare les deux fractions de même dénominateur : $ \dfrac{51}{200} > \dfrac{50}{200} $, donc $ P(\text{Sarah}) > \dfrac{1}{4} $.

    Sarah a donc raison : sa probabilité de gagner est légèrement supérieure à une chance sur quatre (elle vaut précisément $ \dfrac{51}{200} = 0{,}255 $, soit $ 25{,}5\,\% $).

Pour réviser : Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité.