Calculer le nombre d’arrangements
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteRappel
Un arrangement de $ p $ éléments parmi $ n $ est une liste ordonnée de $ p $ éléments distincts choisis dans un ensemble de $ n $ éléments. Le nombre d'arrangements est :
Méthode
Pour calculer le nombre de façons de choisir et ordonner $ p $ éléments parmi $ n $ :
- Étape 1 : Vérifier que l'ordre compte et qu'il n'y a pas de répétition.
- Étape 2 : Identifier $ n $ (nombre total d'éléments) et $ p $ (nombre d'éléments choisis).
- Étape 3 : Appliquer la formule $ A_n^p = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-p+1) $ (produit de $ p $ facteurs consécutifs décroissants à partir de $ n $).
Podium d'une course
12 athlètes participent à une course. Combien de podiums différents (1er, 2e, 3e) sont possibles ?
Étape 1 : L'ordre compte (1er, 2e, 3e sont des places distinctes) et un athlète ne peut pas occuper deux places, donc pas de répétition. C'est un arrangement.
Étape 2 : On a $ n = 12 $ athlètes et on choisit $ p = 3 $ places.
Étape 3 : On calcule :
Il y a $\mathbf{1\,320}$ podiums possibles.
Code à lettres distinctes
Combien de codes de 4 lettres peut-on former avec les 26 lettres de l'alphabet si chaque lettre ne peut apparaître qu'une seule fois ?
Étape 1 : L'ordre compte (ABCD et DCBA sont des codes différents) et chaque lettre est utilisée au plus une fois, donc pas de répétition. C'est un arrangement.
Étape 2 : On a $ n = 26 $ lettres et $ p = 4 $ lettres à choisir.
Étape 3 : On calcule :
Il y a $\mathbf{358\,800}$ codes possibles.
Remarque
On peut retrouver la formule par le principe multiplicatif :
- Pour le 1er élément : $ n $ choix
- Pour le 2e élément : $ n - 1 $ choix (un élément déjà utilisé)
- Pour le 3e élément : $ n - 2 $ choix
- Et ainsi de suite, jusqu'au $ p $-ième élément : $ n - p + 1 $ choix
Attention
Ne pas confondre arrangement et combinaison. Si l'on demande de « choisir un groupe de 3 personnes » (sans notion d'ordre), il ne s'agit pas d'un arrangement mais d'une combinaison.