Calculer une longueur avec la trigonométrie
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On utilise la trigonométrie lorsqu'on connait un angle et une longueur dans un triangle rectangle et qu'on cherche une autre longueur.
La méthode est la suivante :
- Repérer l'angle connu et identifier les côtés par rapport à cet angle : hypoténuse, côté adjacent, côté opposé.
- Choisir le bon rapport en fonction des côtés en jeu (celui qu'on connait et celui qu'on cherche).
- Écrire l'égalité et isoler la longueur inconnue.
- Calculer à la calculatrice (en mode degré).
Remarque
Le moyen mnémotechnique SOHCAHTOA aide à choisir :
- SOH : si on a le côté Opposé et l'Hypoténuse, utiliser le Sinus.
- CAH : si on a le côté Adjacent et l'Hypoténuse, utiliser le Cosinus.
- TOA : si on a le côté Opposé et le côté Adjacent, utiliser la Tangente.
Exemple 1 : utilisation du sinus
Soit $ DEF $ un triangle rectangle en $ F $ tel que $ \widehat{DEF} = 38^{\circ} $ et $ DF = 4 $cm. Calculer $ DE $.
Solution :
Par rapport à l'angle $ \widehat{DEF} $ :
- $ [DF] $ est le côté opposé (longueur connue : $ 4 $ cm)
- $ [DE] $ est l'hypoténuse (longueur cherchée)
On utilise le sinus (SOH) :
$ \sin(\widehat{DEF}) = \dfrac{DF}{DE} $
$ \sin(38^{\circ}) = \dfrac{4}{DE} $
On isole $ DE $ :
$ DE = \dfrac{4}{\sin(38^{\circ})} $
A la calculatrice :
$ DE \approx 6{,}5 $ cm (arrondi au dixième).
Remarque
Pour arrondir au dixième, on regarde le chiffre des centièmes :
- si ce chiffre est 5 ou plus, on arrondit au-dessus
- si ce chiffre est inférieur à 5, on arrondit au-dessous
Ici, $ \dfrac{4}{\sin(38^{\circ})} \approx 6{,}497... $ Le chiffre des centièmes est 9, donc on arrondit au-dessus : $ DE \approx 6{,}5 $ cm.
Exemple 2 : utilisation de la tangente
Soit $ PQR $ un triangle rectangle en $ Q $ tel que $ \widehat{QPR} = 35^{\circ} $ et $ PQ = 50 $m. Calculer $ QR $.
Solution :
Par rapport à l'angle $ \widehat{QPR} $ :
- $ [PQ] $ est le côté adjacent (longueur connue : $ 50 $ m)
- $ [QR] $ est le côté opposé (longueur cherchée)
On utilise la tangente (TOA) :
$ \tan(\widehat{QPR}) = \dfrac{QR}{PQ} $
$ \tan(35^{\circ}) = \dfrac{QR}{50} $
On isole $ QR $ :
$ QR = 50 \times \tan(35^{\circ}) $
A la calculatrice :
$ QR \approx 35{,}0 $ m (arrondi au dixième).