Hauteur d’un arbre (trigonométrie)
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Pour estimer la hauteur d'un arbre, Léa se place à 12 m de sa base. Elle mesure un angle d'élévation de 55° entre l'horizontale et le sommet de l'arbre. Ses yeux sont à 1,60 m du sol.
(Le schéma n'est pas à l'échelle.)
Calculer la hauteur de l'arbre, arrondie au dixième de mètre.
Corrigé
On note $ O $ la position des yeux de Léa, $ S $ le sommet de l'arbre et $ H $ le point de l'arbre situé à la même hauteur que ses yeux.
Le triangle $ OHS $ est rectangle en $ H $.
Par rapport à l'angle $ \widehat{SOH} = 55^{\circ} $ :
- $ [OH] $ est le côté adjacent ($ OH = 12 $ m)
- $ [HS] $ est le côté opposé (longueur cherchée)
On utilise la tangente :
$ \tan(55^{\circ}) = \dfrac{HS}{OH} $
$ HS = OH \times \tan(55^{\circ}) = 12 \times \tan(55^{\circ}) $
A la calculatrice :
$ HS \approx 17{,}1 $ m
La hauteur totale de l'arbre est :
$ h = HS + 1{,}60 \approx 17{,}1 + 1{,}6 = 18{,}7 $ m
L'arbre mesure environ $ 18{,}7 $ m de haut.