Calculer une limite avec ln et les croissances comparées
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On utilise les limites de référence et les croissances comparées :
Limites de référence :
- $ \lim\limits_{x \to 0^{+}} \ln(x) = -\infty $
- $ \lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty $
Croissances comparées :
- $ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0 $ (en $ +\infty $, $ \ln $ est négligeable devant $ x $)
- $ \lim\limits_{x \to 0^{+}} x\ln(x) = 0 $ (en $ 0^{+} $, $ x $ l'emporte sur $ \ln(x) $)
- $ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x)}{x} = 1 $ (taux de variation de $ \ln $ en $ 1 $)
En pratique : face à une forme indéterminée, factoriser pour faire apparaître l'une de ces formes connues.
Exemple
Calculer $ \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\ln(x) - x\right) $.
On factorise par $ x $ :
$ \ln(x) - x = x\left(\dfrac{\ln(x)}{x} - 1\right) $
Or $ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0 $, donc $ \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{\ln(x)}{x} - 1\right) = -1 $.
Par produit : $ \lim\limits_{x \to +\infty} x = +\infty $ et le facteur tend vers $ -1 $, donc :
$ \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\ln(x) - x\right) = -\infty $
Exemple
Calculer $ \lim\limits_{x \to 0^{+}} x^{2}\ln(x) $.
On écrit :
$ x^{2}\ln(x) = x \times x\ln(x) $
Or $ \lim\limits_{x \to 0^{+}} x\ln(x) = 0 $ (croissances comparées) et $ \lim\limits_{x \to 0^{+}} x = 0 $.
Par produit :
$ \lim\limits_{x \to 0^{+}} x^{2}\ln(x) = 0 $
Exemple
Calculer $ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^{2}} $.
On écrit :
$ \dfrac{\ln(x)}{x^{2}} = \dfrac{1}{x} \times \dfrac{\ln(x)}{x} $
Or $ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0 $ et $ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0 $.
Par produit :
$ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^{2}} = 0 $
Exemple
Calculer $ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\left(\ln(x)\right)^{2}}{x} $.
On écrit :
$ \dfrac{\left(\ln(x)\right)^{2}}{x} = \dfrac{\ln(x)}{x} \times \ln(x) $
Or $ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0 $ et $ \lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty $.
C'est une forme indéterminée $ 0 \times (+\infty) $. On procède autrement.
On pose $ X = \sqrt{x} $, c'est-à-dire $ x = X^{2} $. Quand $ x \to +\infty $, $ X \to +\infty $.
$ \dfrac{\left(\ln(x)\right)^{2}}{x} = \dfrac{\left(\ln(X^{2})\right)^{2}}{X^{2}} = \dfrac{\left(2\ln(X)\right)^{2}}{X^{2}} = 4\left(\dfrac{\ln(X)}{X}\right)^{2} $
Or $ \lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{\ln(X)}{X} = 0 $, donc :
$ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\left(\ln(x)\right)^{2}}{x} = 4 \times 0^{2} = 0 $
Remarque
Les résultats de croissances comparées se généralisent : pour tout entier $ n \geqslant 1 $,
- $ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^{n}} = 0 $
- $ \lim\limits_{x \to 0^{+}} x^{n}\ln(x) = 0 $
Autrement dit, toute puissance de $ x $ « l'emporte » sur $ \ln(x) $.