Calculer une factorielle et dénombrer des permutations
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Soit E un ensemble de $ n $ éléments. Une permutation de E est une liste ordonnée contenant les $ n $ éléments de E (chaque élément apparaît exactement une fois). Le nombre de permutations de E est :
Par convention, $ 0! = 1 $.
Méthode
Pour calculer le nombre de façons de ranger $ n $ objets distincts :
- Étape 1 : Vérifier que l'on cherche à ordonner tous les éléments de l'ensemble (sans en laisser de côté).
- Étape 2 : Identifier le nombre $ n $ d'éléments.
- Étape 3 : Calculer $ n! $.
Ordre de passage
6 candidats passent un oral. De combien de façons différentes peut-on organiser leur ordre de passage ?
Étape 1 : On cherche à ordonner les 6 candidats, donc il s'agit de permutations.
Étape 2 : On a $ n = 6 $ éléments.
Étape 3 : On calcule :
Il y a $\mathbf{720}$ ordres de passage possibles.
Anagrammes
Combien d'anagrammes (mots de 5 lettres, même sans signification) peut-on former avec les lettres du mot BAGUE ?
Étape 1 : Un anagramme consiste à placer les 5 lettres dans un certain ordre. Comme les 5 lettres sont distinctes, il s'agit de permutations.
Étape 2 : On a $ n = 5 $ lettres.
Étape 3 : On calcule :
Il y a $\mathbf{120}$ anagrammes possibles.
Remarque
Pour les calculs, il est utile de connaître les premières valeurs de factorielle :
- $ 1! = 1 $
- $ 2! = 2 $
- $ 3! = 6 $
- $ 4! = 24 $
- $ 5! = 120 $
- $ 6! = 720 $
- $ 7! = 5\,040 $
- $ 10! = 3\,628\,800 $
Attention
La factorielle croît très vite. Si un mot contient des lettres répétées (par exemple ARBRE), le nombre d'anagrammes est inférieur à $ n! $ car il faut diviser par les factorielles des répétitions. Ce cas n'est pas traité par la formule simple $ n! $.