Calculer l’espérance d’une variable aléatoire
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteMéthode
Pour calculer l'espérance mathématique d'une variable aléatoire $X$ qui prend les valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$ avec les probabilités $p_1, p_2, \dots, p_n$ :
- Étape 1 : déterminer (ou rappeler) la loi de probabilité de $X$ sous forme de tableau.
Étape 2 : appliquer la formule
$E(X) = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 + \dots + x_n \times p_n$- Étape 3 : calculer chaque produit $x_i \times p_i$, puis additionner.
- Étape 4 : interpréter le résultat (gain moyen, valeur moyenne).
Remarque
L'espérance s'interprète comme la valeur moyenne que prendrait $X$ si l'on répétait l'expérience un grand nombre de fois. Pour un jeu d'argent dont $X$ est le gain algébrique :
- $E(X) > 0$ : jeu favorable au joueur ;
- $E(X) = 0$ : jeu équitable ;
- $E(X) < 0$ : jeu défavorable au joueur.
Espérance d'un gain
Une variable aléatoire $X$ suit la loi suivante :
| $x_i$ | $-2$ | $0$ | $3$ | $5$ |
| $p(X = x_i)$ | $0{,}3$ | $0{,}4$ | $0{,}2$ | $0{,}1$ |
Calculer $E(X)$ et interpréter.
Étape 1 : la loi est donnée.
Étape 2 : application de la formule :
$E(X) = (-2) \times 0{,}3 + 0 \times 0{,}4 + 3 \times 0{,}2 + 5 \times 0{,}1$
Étape 3 : calcul :
$E(X) = -0{,}6 + 0 + 0{,}6 + 0{,}5$
Étape 4 : sur un grand nombre de répétitions, $X$ vaut en moyenne $0{,}5$. Si $X$ représente un gain, le jeu est légèrement favorable au joueur.
Loto sportif
Un joueur paie $2\,€$ pour participer à un jeu. Il gagne $10\,€$ avec une probabilité de $\dfrac{1}{6}$, $50\,€$ avec une probabilité de $\dfrac{1}{30}$, et rien sinon. Soit $X$ le gain algébrique du joueur (gain $-$ mise). Calculer $E(X)$ et conclure.
Étape 1 : détermination de la loi. Les valeurs prises par $X$ sont $-2$ (rien gagné), $10 - 2 = 8$ (gain de $10\,€$) et $50 - 2 = 48$ (gain de $50\,€$).
Étape 2 : formule :
$E(X) = (-2) \times \dfrac{4}{5} + 8 \times \dfrac{1}{6} + 48 \times \dfrac{1}{30}$
Étape 3 : calcul (mise au dénominateur commun $30$) :
$E(X) = \dfrac{-2 \times 24}{30} + \dfrac{8 \times 5}{30} + \dfrac{48}{30}$
$E(X) = \dfrac{-48 + 40 + 48}{30} = \dfrac{40}{30}$
Étape 4 : $E(X) > 0$ : sur un grand nombre de parties, le joueur gagne en moyenne environ $1{,}33\,€$ par partie. Le jeu lui est favorable.
Attention
Erreurs fréquentes :
- Calculer la moyenne arithmétique des $x_i$ au lieu de la moyenne pondérée par les $p_i$.
- Oublier la mise dans un calcul de gain algébrique : $X$ représente le gain net (gain perçu $-$ mise).
- Inverser le rôle des $x_i$ et des $p_i$ dans la formule : on multiplie chaque valeur par sa probabilité.