Vrai/Faux : Variables aléatoires, espérance, variance

Durée estimée

10 minutes

Difficulté

Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.

Déroulement pas à pas (Correction et Indices)

Question 1 :

Soient $p \in \left]0~;~0{,}5\right[$ et $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $\{-1~;~0~;~1\}$ telle que $p(X = -1) = p(X = 1) = p$.

Affirmation : La variance de $X$ vaut $V(X) = 2p$.

Question 2 :

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.

Affirmation : La variable aléatoire $-X$ a pour espérance $-\mu$ et pour écart-type $-\sigma$.

Question 3 :

Soit $X$ une variable aléatoire qui ne prend que des valeurs négatives ou nulles.

Affirmation : L'espérance mathématique de $X$ est négative ou nulle.

Question 4 :

Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi est donnée par le tableau incomplet ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline p(X = x_i) & 0{,}1 & 0{,}3 & ? & 0{,}1 \\ \hline \end{array}$$

Affirmation : $p(X = 3) = 0{,}5$.

Question 5 :

On lance un dé bien équilibré à six faces. Si le « 6 » sort, on gagne $x$ euros ; dans les autres cas, on perd $1$ euro.

Affirmation : Le jeu est équitable (d'espérance nulle) si et seulement si $x = 6$.

Question 6 :

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$.

Affirmation : On a nécessairement $p(X < \mu) = p(X > \mu)$.