Calculer l’espérance et l’écart-type d’une loi binomiale
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Si $ X \sim \mathscr B(n ; p) $, alors :
Méthode
Pour calculer l'espérance, la variance et l'écart-type d'une loi binomiale :
- Étape 1 : Identifier les paramètres $ n $ (nombre d'épreuves) et $ p $ (probabilité de succès).
- Étape 2 : Calculer l'espérance : $ E(X) = np $.
- Étape 3 : Calculer la variance : $ V(X) = np(1-p) $.
- Étape 4 : En déduire l'écart-type : $ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} $.
Lancers de dé
On lance 60 fois un dé équilibré et on note $ X $ le nombre de 6 obtenus. $ X \sim \mathscr B\left(60 ; \dfrac{1}{6}\right) $.
Étape 1 : $ n = 60 $, $ p = \dfrac{1}{6} $.
Étape 2 : L'espérance est :
En moyenne, on obtient 10 fois le 6 sur 60 lancers.
Étape 3 : La variance est :
$ V(X) = 60 \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{300}{36} = \dfrac{25}{3} \approx 8{,}33 $
Étape 4 : L'écart-type est :
Taux de réussite à un examen
Un examen a un taux de réussite de 72 %. Sur un groupe de 50 candidats, on note $ X $ le nombre de candidats reçus. $ X \sim \mathscr B(50 ; 0{,}72) $.
Étape 1 : $ n = 50 $, $ p = 0{,}72 $.
Étape 2 : L'espérance est :
On s'attend en moyenne à 36 candidats reçus.
Étape 3 : La variance est :
$ V(X) = 50 \times 0{,}72 \times 0{,}28 = 10{,}08 $
Étape 4 : L'écart-type est :
Le nombre de reçus se situe typiquement entre $ 36 - 3{,}17 \approx 33 $ et $ 36 + 3{,}17 \approx 39 $.
Remarque
L'espérance $ E(X) = np $ représente le nombre moyen de succès. L'écart-type $ \sigma(X) $ mesure la dispersion autour de cette moyenne : plus $ \sigma $ est grand, plus les résultats sont susceptibles de s'éloigner de la moyenne.
Attention
- Ne pas confondre variance et écart-type : la variance est $ V(X) = np(1-p) $ et l'écart-type est $ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} $. L'écart-type s'exprime dans la même unité que $ X $.
- Ne pas oublier le facteur $ (1-p) $ dans la variance : $ V(X) = np(1-p) $, et non $ np $.