Calculer un coefficient binomial
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Le coefficient binomial $ \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} $ (« $ p $ parmi $ n $ ») donne le nombre de façons de choisir $ p $ éléments parmi $ n $ sans tenir compte de l'ordre. Il est égal à :
Méthode
Pour calculer $ \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} $ :
- Étape 1 : Vérifier que l'on cherche à choisir $ p $ éléments parmi $ n $ sans ordre.
- Étape 2 : Si $ p > \dfrac{n}{2} $, utiliser la symétrie : $ \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n-p \end{pmatrix} $ pour simplifier le calcul.
- Étape 3 : Écrire le produit de $ p $ facteurs consécutifs décroissants au numérateur et $ p! $ au dénominateur, puis simplifier.
Formation d'une équipe
Dans une classe de 30 élèves, on forme une équipe de 4 joueurs. Combien d'équipes différentes peut-on constituer ?
Étape 1 : L'ordre dans lequel on choisit les joueurs ne compte pas (l'équipe {Alice, Bob, Clara, David} est la même que {David, Clara, Alice, Bob}). C'est une combinaison.
Étape 2 : On a $ p = 4 < \dfrac{30}{2} = 15 $, donc pas besoin d'utiliser la symétrie.
Étape 3 : On calcule :
$ \begin{pmatrix} 30 \\ 4 \end{pmatrix} = \dfrac{30 \times 29 \times 28 \times 27}{4 \times 3 \times 2 \times 1} $
$ = \dfrac{657\,720}{24} $
Il y a $\mathbf{27\,405}$ équipes possibles.
Utilisation de la symétrie
Calculer $ \begin{pmatrix} 12 \\ 9 \end{pmatrix} $.
Étape 1 : On cherche le nombre de façons de choisir 9 éléments parmi 12.
Étape 2 : Comme $ 9 > \dfrac{12}{2} = 6 $, on utilise la symétrie :
Étape 3 : On calcule :
$ \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \end{pmatrix} = \dfrac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{1\,320}{6} $
Donc $ \begin{pmatrix} 12 \\ 9 \end{pmatrix} $ = $\mathbf{220}$.
Attention
Les erreurs les plus fréquentes sont :
- Oublier de diviser par $ p! $ (on obtient alors un arrangement, pas une combinaison)
- Confondre arrangement et combinaison : si l'ordre ne compte pas, c'est une combinaison