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Puissances et écriture scientifique Exercices

Écriture scientifique et préfixes (du nano au giga)

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

  1. Donner l'écriture scientifique des nombres suivants.

    1. $ 47\,500 $
    2. $ 0{,}000\,062 $
    3. $ 836 \times 10^{4} $
    4. $ 0{,}054 \times 10^{-3} $

  2. Convertir chaque grandeur dans l'unité indiquée, puis donner son écriture scientifique.

    1. La fréquence d'horloge d'un processeur est de $ 3{,}5 $ GHz. L'exprimer en hertz (Hz).
    2. Le diamètre d'un cheveu humain est d'environ $ 80 $ μm. L'exprimer en mètres (m).
    3. La longueur d'onde d'un rayon X est de $ 0{,}5 $ nm. L'exprimer en mètres.
    4. La masse d'une fourmi est environ $ 4{,}5 $ mg. L'exprimer en kilogrammes (kg).
  3. Une mémoire flash contient $ 256 $ Go (gigaoctets). Sachant qu'un fichier audio occupe en moyenne $ 8 $ Mo (mégaoctets), combien de fichiers peut-on stocker au maximum ?
    On donnera le résultat sous forme d'un nombre entier.

Corrigé

  1. On place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis on compte les rangs déplacés.

    1. La virgule est déplacée de $ 4 $ rangs vers la gauche : $ 47\,500 $ = $\mathbf{4{,}75 \times 10^{4}}$.
    2. La virgule est déplacée de $ 5 $ rangs vers la droite : $ 0{,}000\,062 $ = $\mathbf{6{,}2 \times 10^{-5}}$.
    3. On part de $ 836 \times 10^{4} $. On écrit $ 836 = 8{,}36 \times 10^{2} $, puis :
      $ 836 \times 10^{4} = 8{,}36 \times 10^{2} \times 10^{4} = 8{,}36 \times 10^{6} $.
      Donc $ 836 \times 10^{4} $ = $\mathbf{8{,}36 \times 10^{6}}$.
    4. On écrit $ 0{,}054 = 5{,}4 \times 10^{-2} $, puis :
      $ 0{,}054 \times 10^{-3} = 5{,}4 \times 10^{-2} \times 10^{-3} = 5{,}4 \times 10^{-5} $.
      Donc $ 0{,}054 \times 10^{-3} $ = $\mathbf{5{,}4 \times 10^{-5}}$.

  2. On utilise les correspondances du tableau de préfixes : G $ = 10^{9} $, M $ = 10^{6} $, k $ = 10^{3} $, m $ = 10^{-3} $, μ $ = 10^{-6} $, n $ = 10^{-9} $.

    1. $ 3{,}5 $ GHz $ = 3{,}5 \times 10^{9} $ Hz, ce qui est déjà en écriture scientifique : $ 3{,}5 \times 10^{9} $ Hz.
    2. $ 80 $ μm $ = 80 \times 10^{-6} $ m. Or $ 80 = 8 \times 10^{1} $, donc :
      $ 80 \times 10^{-6} = 8 \times 10^{1} \times 10^{-6} = 8 \times 10^{-5} $ m.
      Le diamètre vaut $ 8 \times 10^{-5} $ m.
    3. $ 0{,}5 $ nm $ = 0{,}5 \times 10^{-9} $ m. Or $ 0{,}5 = 5 \times 10^{-1} $, donc :
      $ 0{,}5 \times 10^{-9} = 5 \times 10^{-1} \times 10^{-9} = 5 \times 10^{-10} $ m.
      La longueur d'onde vaut $ 5 \times 10^{-10} $ m.
    4. $ 4{,}5 $ mg $ = 4{,}5 \times 10^{-3} $ g. Pour passer aux kilogrammes, on divise par $ 1\,000 $ :
      $ 4{,}5 \times 10^{-3} $ g $ = 4{,}5 \times 10^{-3} \times 10^{-3} $ kg $ = 4{,}5 \times 10^{-6} $ kg.
      La masse vaut $ 4{,}5 \times 10^{-6} $ kg.

  3. On exprime les deux capacités dans la même unité, par exemple en octets.

    $ 256 $ Go $ = 256 \times 10^{9} $ octets et $ 8 $ Mo $ = 8 \times 10^{6} $ octets.

    Le nombre maximal de fichiers est $ N = \dfrac{256 \times 10^{9}}{8 \times 10^{6}} $.

    On simplifie : $ N = \dfrac{256}{8} \times \dfrac{10^{9}}{10^{6}} = 32 \times 10^{9-6} = 32 \times 10^{3} = 32\,000 $.

    On peut donc stocker au maximum $ 32\,000 $ fichiers.