Appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
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Soit $ X $ une variable aléatoire d'espérance $ \mu $ et d'écart-type $ \sigma $. Pour tout réel $ \alpha > 0 $ :
Sous forme complémentaire :
Méthode
Pour appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
- Étape 1 : Identifier $ \mu = E(X) $ et $ \sigma^2 = V(X) $.
- Étape 2 : Traduire l'événement étudié sous la forme $ |X - \mu| \geqslant \alpha $ ou $ |X - \mu| < \alpha $ et identifier la valeur de $ \alpha $.
- Étape 3 : Appliquer l'inégalité pour obtenir une majoration (si « $ \geqslant \alpha $ ») ou une minoration (si « $ < \alpha $ »).
- Étape 4 : Conclure en interprétant le résultat.
Majorer la probabilité d'un écart
Le temps d'attente moyen à un guichet est de 12 minutes avec un écart-type de 3 minutes. Majorer la probabilité que le temps d'attente s'écarte de plus de 9 minutes de la moyenne.
Étape 1 : Soit $ X $ le temps d'attente. On a $ \mu = 12 $ et $ \sigma = 3 $, donc $ \sigma^2 = 9 $.
Étape 2 : On cherche $ p(|X - 12| \geqslant 9) $. L'événement est bien sous la forme $ |X - \mu| \geqslant \alpha $ avec $ \alpha = 9 $.
Étape 3 : On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
$ p(|X - 12| \geqslant 9) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{\alpha^2} = \dfrac{9}{81} $
Étape 4 : La probabilité que le temps d'attente soit en dehors de l'intervalle $ ]3 ; 21[ $ est inférieure à $ \dfrac{1}{9} $, soit environ 11 %.
Minorer la probabilité d'un intervalle
La note moyenne à un examen est de 10 avec une variance de 4. Minorer la probabilité qu'un étudiant obtienne une note comprise entre 4 et 16.
Étape 1 : Soit $ X $ la note. On a $ \mu = 10 $ et $ \sigma^2 = 4 $.
Étape 2 : L'intervalle $ ]4 ; 16[ $ est centré en $ \mu = 10 $ et de demi-amplitude $ 6 $. En effet : $ 10 - 6 = 4 $ et $ 10 + 6 = 16 $.
On cherche donc $ p(|X - 10| < 6) $. L'événement complémentaire est $ |X - \mu| \geqslant \alpha $ avec $ \alpha = 6 $.
Étape 3 : On utilise la forme complémentaire :
$ p(|X - 10| < 6) \geqslant 1 - \dfrac{\sigma^2}{\alpha^2} = 1 - \dfrac{4}{36} = 1 - \dfrac{1}{9} $
Étape 4 : La probabilité d'obtenir une note entre 4 et 16 est au moins $ \dfrac{8}{9} $, soit environ 89 %.
Remarque
On peut aussi écrire l'inégalité en posant $ \alpha = k\sigma $ :
Par exemple, pour $ k = 2 $ : $ p(|X - \mu| \geqslant 2\sigma) \leqslant \dfrac{1}{4} = 0{,}25 $, et pour $ k = 3 $ : $ p(|X - \mu| \geqslant 3\sigma) \leqslant \dfrac{1}{9} \approx 0{,}111 $.
Attention
- L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne une majoration de $ p(|X - \mu| \geqslant \alpha) $ et une minoration de $ p(|X - \mu| < \alpha) $. Ne pas confondre le sens de l'inégalité.
- L'intervalle doit être centré en $ \mu $. Si l'intervalle n'est pas symétrique autour de $ \mu $, on ne peut pas appliquer directement l'inégalité.
- Si la majoration obtenue dépasse 1, elle est sans intérêt (toujours vraie). Cela signifie que $ \alpha $ est trop petit par rapport à $ \sigma $.