Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

1. L'écart-type $ \sigma $ est la racine carrée de la variance $ V $.
   On a :

   $ \sigma = \sqrt{V} = \sqrt{4} = 2 $

2. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev stipule que pour tout réel $ k > 0 $ :

   $ P(|X - \mu| \geqslant k) \leqslant \dfrac{V}{k^2} $

   Ou encore, pour la probabilité de l'événement contraire :

   $ P(|X - \mu| < k) \geqslant 1 - \dfrac{V}{k^2} $

   1. On cherche à minorer la probabilité que la note soit comprise entre 10 et 14.
      L'événement $ 10 \leqslant X \leqslant 14 $ correspond à $ 12 - 2 \leqslant X \leqslant 12 + 2 $, soit $ |X - 12| \leqslant 2 $.
      En prenant $ k = 2 $, on applique l'inégalité :

      $ P(|X - 12| \leqslant 2) \geqslant 1 - \dfrac{V}{2^2} $
      $ P(10 \leqslant X \leqslant 14) \geqslant 1 - \dfrac{4}{4} = 0 $

      L'inégalité nous donne une minoration de 0, ce qui est toujours vrai pour une probabilité mais n'apporte pas d'information supplémentaire ici.

   2. On cherche à minorer la probabilité que la note soit comprise entre 8 et 16.
      L'événement $ 8 \leqslant X \leqslant 16 $ correspond à $ 12 - 4 \leqslant X \leqslant 12 + 4 $, soit $ |X - 12| \leqslant 4 $.
      En prenant $ k = 4 $, on applique l'inégalité :

      $ P(|X - 12| \leqslant 4) \geqslant 1 - \dfrac{V}{4^2} $
      $ P(8 \leqslant X \leqslant 16) \geqslant 1 - \dfrac{4}{16} $
      $ P(8 \leqslant X \leqslant 16) \geqslant 1 - 0{,}25 = 0{,}75 $

      La probabilité que la note soit comprise entre 8 et 16 est donc d'au moins $ 0{,}75 $ (soit $ 75 \% $).

→ Pour réviser : Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev