QCM : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
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Entraînement
Ce QCM porte sur l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour une variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, et pour tout réel $\alpha > 0$, $p\!\left(|X - \mu| \geqslant \alpha\right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}$. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'écrit, pour tout $\alpha > 0$, $p\!\left(|X - \mu| \geqslant \alpha\right) \leqslant \ ?$
- (Incorrect) $\dfrac{\sigma}{\alpha}$
- (Correct) $\dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}$
- (Incorrect) $\dfrac{\alpha^2}{\sigma^2}$
- (Incorrect) $\sigma^2 \alpha^2$
Question 2 : $X$ est une variable aléatoire d'espérance $\mu = 20$ et d'écart-type $\sigma = 3$. Quelle majoration donne Bienaymé-Tchebychev pour $p\!\left(|X - 20| \geqslant 6\right)$ ?
- (Incorrect) $0{,}5$
- (Correct) $0{,}25$
- (Incorrect) $9$
- (Incorrect) $0{,}75$
Question 3 : $X$ est une variable aléatoire d'espérance $\mu = 8$ et de variance $\sigma^2 = 2$. Que donne Bienaymé-Tchebychev pour $p\!\left(|X - 8| \geqslant 4\right)$ ?
- (Incorrect) $0{,}5$
- (Incorrect) $0{,}25$
- (Correct) $0{,}125$
- (Incorrect) $0{,}0625$
Question 4 : $X$ est une variable aléatoire d'espérance $\mu = 100$ et d'écart-type $\sigma = 5$. En utilisant Bienaymé-Tchebychev, donner une minoration de $p\!\left(|X - 100| < 15\right)$.
- (Incorrect) $\dfrac{1}{9}$
- (Correct) $\dfrac{8}{9}$
- (Incorrect) $\dfrac{1}{3}$
- (Incorrect) $1$
Question 5 : $X$ est une variable aléatoire d'écart-type $\sigma = 3$. À partir de quelle valeur minimale entière de $\alpha$ peut-on garantir $p\!\left(|X - \mu| \geqslant \alpha\right) \leqslant 0{,}01$ ?
- (Incorrect) $3$
- (Incorrect) $9$
- (Correct) $30$
- (Incorrect) $300$
Question 6 : $X$ est une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma > 0$. En posant $\alpha = 2\sigma$ dans Bienaymé-Tchebychev, quelle majoration obtient-on pour $p\!\left(|X - \mu| \geqslant 2\sigma\right)$ ?
- (Incorrect) $\dfrac{1}{2}$
- (Incorrect) $2$
- (Correct) $\dfrac{1}{4}$
- (Incorrect) $\sigma^2$