Vrai/Faux : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.

Affirmation : Pour tout réel $\alpha > 0$, $p\!\left(|X - \mu| \geqslant \alpha\right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}$.

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu = 20$ et d'écart-type $\sigma = 3$.

Affirmation : D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, $p\!\left(|X - 20| \geqslant 4\right) \leqslant 0{,}75$.

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu = 0$ et de variance $V(X) = 9$.

Affirmation : $p\!\left(X \leqslant -6 \text{ ou } X \geqslant 6\right) \leqslant 0{,}25$.

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma = 2$.

Affirmation : D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, $p\!\left(|X - 10| \leqslant 5\right) \leqslant \dfrac{4}{25}$.

Affirmation : L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique à toute variable aléatoire admettant une espérance et un écart-type, sans hypothèse sur la loi suivie.

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu = 0$ et d'écart-type $\sigma = 1$.

Affirmation : D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, $p(|X| \geqslant 3) \leqslant \dfrac{1}{9}$, donc $p(|X| < 3) \leqslant \dfrac{8}{9}$.