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Opérations sur les fractions Exercices

Budget mensuel d’une famille : synthèse sur les fractions

Durée estimée
20 minutes
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Objectifs travaillés

La famille Mercier dispose d'un budget mensuel de $ 2\,400 $ €. Chaque mois, elle dépense :

  • $ \dfrac{1}{3} $ du budget pour le logement,
  • $ \dfrac{1}{4} $ du budget pour la nourriture,
  • $ \dfrac{1}{8} $ du budget pour les transports.

Le reste du budget couvre les autres dépenses (loisirs, vêtements, épargne).

  1. Calculer le montant en euros consacré chaque mois au logement, à la nourriture et aux transports.
  2. Calculer, sous forme d'une fraction simplifiée au maximum, la part du budget consacrée à ces trois postes réunis (logement + nourriture + transports).
  3. En déduire, sous forme d'une fraction simplifiée, la part du budget consacrée aux autres dépenses.
  4. Calculer le montant en euros consacré aux autres dépenses, et vérifier la cohérence avec le total trouvé à la question 1.
  5. Sur le montant des autres dépenses, la famille décide de consacrer $ \dfrac{3}{7} $ à l'épargne. Calculer le montant épargné chaque mois.
  6. Quelle fraction du budget mensuel total cette épargne représente-t-elle ? Donner la réponse sous forme d'une fraction simplifiée.

Corrigé

  1. Pour chaque poste, on multiplie le budget total par la fraction correspondante.

    Logement : $ \dfrac{1}{3} \times 2\,400 = \dfrac{2\,400}{3} = 800 $
    La famille dépense $ 800 $ € pour le logement.

    Nourriture : $ \dfrac{1}{4} \times 2\,400 = \dfrac{2\,400}{4} = 600 $
    La famille dépense $ 600 $ € pour la nourriture.

    Transports : $ \dfrac{1}{8} \times 2\,400 = \dfrac{2\,400}{8} = 300 $
    La famille dépense $ 300 $ € pour les transports.

  2. On calcule la somme $ \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} $.

    Un multiple commun de $ 3 $, $ 4 $ et $ 8 $ est $ 24 $ ($ 24 = 3 \times 8 = 4 \times 6 = 8 \times 3 $).
    $ \dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 8}{3 \times 8} = \dfrac{8}{24} $
    $ \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 6}{4 \times 6} = \dfrac{6}{24} $
    $ \dfrac{1}{8} = \dfrac{1 \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{3}{24} $

    $ \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{8}{24} + \dfrac{6}{24} + \dfrac{3}{24} = \dfrac{17}{24} $

    La fraction $ \dfrac{17}{24} $ est irréductible ($ 17 $ est premier et n'est pas un diviseur de $ 24 $).

    Les trois postes représentent $\mathbf{\dfrac{17}{24}}$ du budget.

  3. Le budget total représente la fraction $ 1 = \dfrac{24}{24} $. La part des autres dépenses est :
    $ 1 - \dfrac{17}{24} = \dfrac{24}{24} - \dfrac{17}{24} = \dfrac{7}{24} $

    Les autres dépenses représentent $\mathbf{\dfrac{7}{24}}$ du budget.

  4. Montant des autres dépenses :
    $ \dfrac{7}{24} \times 2\,400 = \dfrac{7 \times 2\,400}{24} = \dfrac{16\,800}{24} = 700 $

    Les autres dépenses s'élèvent à $ 700 $ €.

    Vérification : $ 800 + 600 + 300 + 700 = 2\,400 $. On retrouve bien le budget total, ce qui confirme le résultat.

  5. Le montant épargné est $ \dfrac{3}{7} $ des $ 700 $ € :
    $ \dfrac{3}{7} \times 700 = \dfrac{3 \times 700}{7} = \dfrac{2\,100}{7} = 300 $

    La famille épargne $ 300 $ € chaque mois.

  6. La fraction du budget total consacrée à l'épargne est :
    $ \dfrac{300}{2\,400} $

    On simplifie par $ 100 $ : $ \dfrac{300}{2\,400} = \dfrac{3}{24} $.
    On simplifie par $ 3 $ : $ \dfrac{3}{24} = \dfrac{1}{8} $.

    L'épargne représente $\mathbf{\dfrac{1}{8}}$ du budget mensuel.

Pour réviser : Résoudre un problème avec des fractions