Triangles semblables
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteObjectifs du chapitre
La notion de triangles semblables est intuitivement liée à celle de forme. Deux figures sont semblables si elles ont la même forme, mais pas nécessairement la même taille. On peut passer de l'une à l'autre par un agrandissement ou une réduction (zoom).
1 - Définition et angles
Définition
Deux triangles sont dits semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure.
1er cas de similitude
La somme des angles d'un triangle étant toujours égale à $180°$, il suffit que deux triangles aient deux paires d'angles de même mesure pour qu'ils soient semblables. La troisième paire est alors nécessairement égale.
Exemple
Soit un triangle $ABC$ tel que $\widehat{A} = 40°$, $\widehat{B} = 60°$ et $\widehat{C} = 80°$.
Soit un triangle $DEF$ tel que $\widehat{D} = 80°$ et $\widehat{E} = 40°$.
On calcule le troisième angle : $\widehat{F} = 180° - 80° - 40° = 60°$.
Les triangles $ABC$ et $DEF$ ont deux paires d'angles de même mesure ($\widehat{A} = \widehat{E} = 40°$ et $\widehat{B} = \widehat{F} = 60°$), donc ils sont semblables.
Les sommets homologues sont : $A \leftrightarrow E$, $B \leftrightarrow F$, $C \leftrightarrow D$.
Remarque
C'est le point clé pour éviter les erreurs.
- Les sommets où se trouvent les angles égaux sont appelés sommets homologues.
- Les côtés opposés aux angles égaux sont appelés côtés homologues.
Exemple : si $\widehat{A} = \widehat{D}$, alors le côté $[BC]$ (opposé à $A$) est homologue au côté $[EF]$ (opposé à $D$).
Propriété fondamentale
Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés homologues sont proportionnelles.
La réciproque est également vraie :
2e cas de similitude
Deux triangles dont les côtés sont deux à deux proportionnels sont semblables.
En pratique, on classe les côtés de chaque triangle par ordre croissant, puis on calcule les trois rapports entre côtés correspondants. Si les trois rapports sont égaux, les triangles sont semblables.
Exemple : un triangle de côtés $3$, $4$, $5$ et un triangle de côtés $6$, $8$, $10$.
Les rapports sont : $\dfrac{6}{3} = \dfrac{8}{4} = \dfrac{10}{5} = 2$. Les trois rapports sont égaux, donc les triangles sont semblables.
3e cas de similitude
Deux triangles ayant un angle de même mesure compris entre deux côtés proportionnels sont semblables.
Autrement dit, si dans deux triangles on repère un angle de même mesure, et que les deux côtés qui forment cet angle sont proportionnels (même rapport), alors les triangles sont semblables. Il n'est pas nécessaire de connaître les troisièmes côtés.
Exemple : un triangle $ABC$ avec $\widehat{A} = 50°$, $AB = 4$ cm, $AC = 6$ cm et un triangle $DEF$ avec $\widehat{D} = 50°$, $DE = 6$ cm, $DF = 9$ cm.
L'angle $\widehat{A} = \widehat{D} = 50°$ et les côtés qui le forment vérifient : $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$ et $\dfrac{DF}{AC} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$. Les triangles sont semblables.
2 - Coefficient de similitude
Coefficient de similitude
Si $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec les correspondances $(A \leftrightarrow D)$, $(B \leftrightarrow E)$, $(C \leftrightarrow F)$, le nombre $k$ tel que :
est appelé coefficient de similitude.
- Si $k > 1$ : c'est un agrandissement.
- Si $k = 1$ : les triangles sont isométriques (mêmes dimensions).
- Si $0 < k < 1$ : c'est une réduction.
Exemple
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec les correspondances $(A \leftrightarrow D)$, $(B \leftrightarrow E)$, $(C \leftrightarrow F)$.
On donne $AB = 4$ cm, $BC = 5$ cm, $AC = 6$ cm et $DE = 6$ cm.
Le coefficient de similitude est :
On en déduit les autres longueurs :
$EF = k \times BC = 1{,}5 \times 5 = 7{,}5$ cm
$DF = k \times AC = 1{,}5 \times 6 = 9$ cm
Lien avec l'homothétie
L'image d'un triangle par une homothétie de rapport $k$ est un triangle semblable au triangle initial.
Attention
La réciproque est fausse : deux triangles semblables ne sont pas forcément homothétiques. C'est le cas dès que leurs côtés homologues ne sont pas deux à deux parallèles, comme les triangles $ABC$ et $DEF$ de la première figure de ce cours.
Lien avec la configuration de Thalès
Dans une configuration de Thalès, les deux triangles formés sont semblables. Le coefficient de similitude est alors le rapport des longueurs des côtés parallèles.
Rapport des aires
Si deux triangles sont semblables avec un coefficient de similitude $k$, alors le rapport de leurs aires est $k^2$ :
Exemple
Deux triangles sont semblables avec un coefficient de similitude $k = 1{,}5$.
L'aire du petit triangle est $10$ cm².
L'aire du grand triangle est : $10 \times (1{,}5)^2 = 10 \times 2{,}25 = 22{,}5$ cm².
Les questions essentielles
1. Comment démontrer que deux triangles sont semblables par les longueurs ?
On classe les côtés de chaque triangle par ordre croissant, puis on calcule les trois rapports entre côtés correspondants. Si les trois rapports sont égaux, les triangles sont semblables.
Voir la fiche méthode : Démontrer que deux triangles sont semblables par les longueurs
2. Comment calculer le coefficient de similitude ?
On identifie une paire de côtés homologues dont les longueurs sont connues, puis on calcule le rapport de la longueur du triangle image par la longueur homologue du triangle initial.
Voir la fiche méthode : Calculer le coefficient de similitude
3. Comment démontrer que deux triangles sont semblables par les angles ?
On cherche deux paires d'angles de même mesure entre les deux triangles (angles communs, angles droits, angles correspondants...). Si on en trouve deux, les triangles sont semblables.
Voir la fiche méthode : Démontrer que deux triangles sont semblables par les angles
4. Comment calculer une longueur inconnue avec des triangles semblables ?
On justifie la similitude, on identifie les côtés homologues, on calcule le coefficient $k$, puis on multiplie la longueur connue par $k$ pour obtenir la longueur cherchée.
Voir la fiche méthode : Calculer une longueur inconnue avec des triangles semblables