Démontrer que deux triangles sont semblables par les longueurs
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Pour démontrer que deux triangles sont semblables en utilisant les longueurs de leurs côtés :
- Ordonner les longueurs : classer les côtés de chaque triangle par ordre croissant.
- Calculer les rapports : diviser chaque longueur du second triangle par la longueur correspondante du premier.
- Conclure : si les trois rapports sont égaux, les triangles sont semblables (2e cas de similitude). Sinon, ils ne le sont pas.
Triangles semblables
On considère deux triangles $ABC$ et $DEF$ tels que :
$AB = 4$ cm, $BC = 5$ cm, $AC = 6$ cm
$DE = 6$ cm, $EF = 7{,}5$ cm, $DF = 9$ cm
Les triangles sont-ils semblables ?
Étape 1 : On classe les côtés par ordre croissant :
Triangle $ABC$ : $4$ (petit), $5$ (moyen), $6$ (grand).
Triangle $DEF$ : $6$ (petit), $7{,}5$ (moyen), $9$ (grand).
Étape 2 : On calcule les rapports entre côtés correspondants :
$\dfrac{6}{4} = 1{,}5$ ; $\dfrac{7{,}5}{5} = 1{,}5$ ; $\dfrac{9}{6} = 1{,}5$
Étape 3 : Les trois rapports sont égaux à $1{,}5$, donc les côtés sont deux à deux proportionnels.
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec un coefficient de similitude $k = 1{,}5$.
Triangles non semblables
On considère deux triangles $MNP$ et $RST$ tels que :
$MN = 3$ cm, $NP = 4$ cm, $MP = 5$ cm
$RS = 6$ cm, $ST = 9$ cm, $RT = 10$ cm
Les triangles sont-ils semblables ?
Étape 1 : On classe les côtés par ordre croissant :
Triangle $MNP$ : $3$, $4$, $5$.
Triangle $RST$ : $6$, $9$, $10$.
Étape 2 : On calcule les rapports :
$\dfrac{6}{3} = 2$ ; $\dfrac{9}{4} = 2{,}25$ ; $\dfrac{10}{5} = 2$
Étape 3 : Les rapports ne sont pas tous égaux ($2 \neq 2{,}25$), donc les côtés ne sont pas proportionnels.
Les triangles $MNP$ et $RST$ ne sont pas semblables.
Attention
Il faut toujours ordonner les côtés avant de calculer les rapports. Si on compare les côtés dans le mauvais ordre, on peut trouver des rapports différents alors que les triangles sont semblables.