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Théorème de Thalès Exercices

Configurations de Thalès dans un triangle

Durée estimée

20 minutes

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Objectifs travaillés

On considère un triangle $SAB$. Les points $M$ et $N$ appartiennent respectivement aux segments $[SA]$ et $[SB]$.

On donne : $SM = 3$ cm, $MA = 5$ cm, $SN = 4{,}5$ cm et $NB = 7{,}5$ cm.

Triangle SAB avec M sur [SA] et N sur [SB], SM = 3, MA = 5, SN = 4,5, NB = 7,5

Démontrer que les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont parallèles.
On sait de plus que $MN = 1{,}5$ cm. Calculer la longueur $AB$.
On place sur la demi-droite $[SA)$ le point $P$ tel que $SP = 12$ cm. La parallèle à $(MN)$ passant par $P$ coupe la demi-droite $[SB)$ en $Q$. Calculer les longueurs $SQ$ et $NQ$.

Corrigé

On calcule d'abord les longueurs $SA$ et $SB$ :

$SA = SM + MA = 3 + 5 = 8$ cm

$SB = SN + NB = 4{,}5 + 7{,}5 = 12$ cm

On calcule séparément chaque rapport :

$\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$

$\dfrac{SN}{SB} = \dfrac{4{,}5}{12} = 0{,}375$

On constate que $\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB}$.

Les points $S$, $M$, $A$ d'une part et $S$, $N$, $B$ d'autre part sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont parallèles.
Les triangles $SMN$ et $SAB$ sont emboîtés et $(MN) /\!/ (AB)$. D'après le théorème de Thalès :

$\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{MN}{AB}$

$\dfrac{3}{8} = \dfrac{1{,}5}{AB}$

Par produit en croix :

$AB = \dfrac{1{,}5 \times 8}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$

Donc $AB = 4$ cm.
Comme $(PQ) /\!/ (MN)$ et $(MN) /\!/ (AB)$, les droites $(PQ)$ et $(AB)$ sont parallèles.

Les triangles $SAB$ et $SPQ$ sont emboîtés (les points $S$, $A$, $P$ sont alignés et les points $S$, $B$, $Q$ sont alignés). On applique le théorème de Thalès :

$\dfrac{SA}{SP} = \dfrac{SB}{SQ}$

$\dfrac{8}{12} = \dfrac{12}{SQ}$

Par produit en croix :

$SQ = \dfrac{12 \times 12}{8} = \dfrac{144}{8} = 18$

Donc $SQ = 18$ cm.

Comme $N$ est sur le segment $[SQ]$ (avec $SN = 4{,}5 < SQ = 18$) :

$NQ = SQ - SN = 18 - 4{,}5 = 13{,}5$

Donc $NQ = 13{,}5$ cm.