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Calcul littéral (initiation) Exercices

Suite d’allumettes : modéliser et réduire

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

On construit une suite de figures avec des allumettes en alignant des triangles équilatéraux côte à côte (chaque triangle partage un côté avec son voisin).

  • Étape 1 : 1 triangle, $ 3 $ allumettes.
  • Étape 2 : 2 triangles, $ 5 $ allumettes.
  • Étape 3 : 3 triangles, $ 7 $ allumettes.

  1. Combien faut-il d'allumettes pour réaliser :

    1. la figure de l'étape 4 ?
    2. la figure de l'étape 5 ?
  2. On note $ A $ le nombre d'allumettes nécessaires à l'étape $ n $. Léon affirme que $ A = 2n + 1 $. Vérifier cette formule pour $ n = 1 $, $ n = 2 $ et $ n = 3 $.
  3. Combien d'allumettes faudra-t-il pour réaliser la figure de l'étape $ 50 $ ?

  4. Mathilde a écrit une autre expression pour le nombre d'allumettes à l'étape $ n $ :

    $ B = 4n + 3 - 2n - 2 $
    1. Réduire l'expression $ B $.
    2. Les expressions $ A $ et $ B $ donnent-elles le même nombre d'allumettes pour toute valeur de $ n $ ?
    3. Calculer $ B $ pour $ n = 100 $.

Corrigé

  1. À chaque nouvelle étape, on ajoute un triangle, ce qui nécessite $ 2 $ allumettes supplémentaires (le côté partagé avec le triangle précédent est déjà placé).

    1. À l'étape 4, il faut $ 7 + 2 = $ $\mathbf{9}$ allumettes.
    2. À l'étape 5, il faut $ 9 + 2 = $ $\mathbf{11}$ allumettes.

  2. On teste la formule $ A = 2n + 1 $ pour les premières étapes.

    Pour $ n = 1 $ : $ A = 2 \times 1 + 1 = 2 + 1 = 3 $. Le compte est bon ($ 3 $ allumettes).
    Pour $ n = 2 $ : $ A = 2 \times 2 + 1 = 4 + 1 = 5 $. Le compte est bon ($ 5 $ allumettes).
    Pour $ n = 3 $ : $ A = 2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7 $. Le compte est bon ($ 7 $ allumettes).

    La formule de Léon donne le bon nombre d'allumettes pour les trois premières étapes.

  3. On utilise la formule $ A = 2n + 1 $ avec $ n = 50 $ :
    $ A = 2 \times 50 + 1 = 100 + 1 = 101 $

    Il faudra $\mathbf{101}$ allumettes pour réaliser la figure de l'étape $ 50 $.

    1. On regroupe les termes en $ n $ et les termes constants :
      $ B = 4n + 3 - 2n - 2 $
      $ B = 4n - 2n + 3 - 2 $
      $ B = $ $\mathbf{2n + 1}$
    2. Après réduction, on obtient $ B = 2n + 1 $, ce qui est exactement l'expression $ A $ proposée par Léon. Les deux expressions donnent donc le même nombre d'allumettes pour toute valeur de $ n $.

    3. On remplace $ n $ par $ 100 $ dans l'expression réduite :
      $ B = 2 \times 100 + 1 = 200 + 1 $
      $ B = $ $\mathbf{201}$

      À l'étape $ 100 $, il faudrait $ 201 $ allumettes.

Pour réviser : Réduire une expression littérale