Déterminer la position relative des courbes
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Méthode
Pour déterminer la position relative des courbes $y = x$, $y = x^2$ et $y = x^3$ (pour $x > 0$) :
- Étape 1 : Identifier l'intervalle dans lequel se trouve $x$ : est-ce que $0 < x < 1$ ou $x > 1$ ?
- Étape 2 : Appliquer la règle :
- Si $x > 1$ : $x < x^2 < x^3$, donc la courbe de $x^3$ est au-dessus de celle de $x^2$, elle-même au-dessus de la droite $y = x$.
- Si $0 < x < 1$ : $x^3 < x^2 < x$, donc la droite $y = x$ est au-dessus de la courbe de $x^2$, elle-même au-dessus de celle de $x^3$.
- Si $x = 0$ ou $x = 1$ : les trois courbes se croisent ($x = x^2 = x^3$).
Position pour x > 1
Comparer $x$, $x^2$ et $x^3$ pour $x = 2$.
Étape 1 : On a $x = 2 > 1$.
Étape 2 : On calcule :
On vérifie bien $x < x^2 < x^3$, c'est-à-dire $2 < 4 < 8$.
La courbe de $x^3$ est au-dessus de celle de $x^2$, qui est au-dessus de la droite $y = x$.
Position pour 0 < x < 1
Comparer $x$, $x^2$ et $x^3$ pour $x = 0{,}5$.
Étape 1 : On a $0 < 0{,}5 < 1$.
Étape 2 : On calcule :
On vérifie bien $x^3 < x^2 < x$, c'est-à-dire $0{,}125 < 0{,}25 < 0{,}5$.
La droite $y = x$ est au-dessus de la courbe de $x^2$, qui est au-dessus de celle de $x^3$.
Remarque
Pour justifier ces résultats, on peut factoriser :
- $x^2 - x = x\left(x - 1\right)$ : pour $x > 0$, le signe dépend de $x - 1$.
- $x^3 - x^2 = x^2\left(x - 1\right)$ : pour $x > 0$, le signe dépend aussi de $x - 1$.
Ainsi la valeur $x = 1$ est le point de basculement.
Attention
Ces résultats ne sont valables que pour $x > 0$. Pour $x < 0$, la comparaison est différente car $x^3 < 0$ tandis que $x^2 > 0$.